幂函数课件-2025-2026学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册.pptxVIP

4.1.3幂函数

湘教版(2019)

必修第一册

理解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.

掌握基本的五个幂函数的图象和性质，理解它们的变化规律.

能利用幂函数的单调性比较它们的

大小.

学习目标

01

02

03

新课导学

前面我们学习了指数幂的有关知识，以及在前一章对函数概念有了初步认识，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.

先看几个实例.

(1)如果王宁以1元/支的价格购买了某种铅笔x支，那么他需要支付的金额p=x元，这里p是x的函数；

(2)如果正方形的边长为x,那么正方形的面积S=x²,这里S是x的函数；

(3)如果立方体的棱长为x,那么立方体的体积V=x³,这里V是x的函数.上面的讨论中涉及的变量x,x²和x³,都是自变量x的函数.

一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数y=x“叫作(α次)幂函数.上面提到的1,2,3次幂函数，都是正整数次幂函数y=x”(x∈

R,n∈N+)的例子

正整数次幂函数的倒数是负整数次幂函数.一般写成y=x⁻n,这

里n是正整数，x≠0.例如，我们已学过的反比例函数,以及平方倒

数函数,是最常用的负整数次幂函数.

1.幂函数

负整数次幂函数和正整数次幂函数，统称整数次幂函数.

自变量x的算术平方根√x或立方根³√x,是最常见的分数次幂函数.

下面我们来研究幂函数的基本性质.

和两正实数

和两正实数

ab,有

ab,有

,即ab

另外，由幂运算的性质可推知负整数次幂函数的一个特点：其图象向上(下)

与y轴正(负)方向无限接近，向右(左)与x轴正(负)方向无限接近.要注意的是，这一点是无法用有限的图形来观察得出.

由幂运算的性质还可得出，当α0时，幂函数y=xa的图象过点(0,0)

和点(1,1);当α0时，幂函数y=x“的图象过点(1,1).

新知探索

综上所述，幂函数y=x(a≠0)具有以下性质：

(1)当α0时，它在[0,+∞○]上有定义且递增，值域为[0,+∞],函数图象过(0,0)和(1,1)两点；

(2)当α0时，它在(0,+○)上有定义且递减，值域为(0,+∞),函数图象过点(1,1),向上与y轴正方向无限接近，向右与x轴正方向无限接近.

2.幂函数的性质

业SYHE价

下面我们再来由图象看幂函数性质：

下图提供了我们熟悉的五个幂函数y=x,y=x²,y=x³,y=√x,

的图象，它们中的后四个各代表了一类幂函数.

对于一般的非零实数α,幂函数y=x“只在x0时才都有意义.同时，对

于整数次幂函数，由图象的对称性可知，只需把它们在(0,+∞)上的图象和性质说清楚，其他部分的情形也就容易知道了.

因此，我们主要关心幂函数y=x在x0时的图象和性质.从上页图中可

以看出，幂函数y=x(x0,α≠0)的性质与理性认识相符.

(1)1.51.4,1.61.4;

解(1)1.51.4,1.61.4可看作幂函数y=x¹4的两个函数值.该函数在[0,+∞]

上递增，由于底数1.51.6,所以1.51.41.61.4

调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系.

例8比较下列各组中两个数的大小：

利用幂函数的单

例8比较下列各组中两个数的大小：

(2)1.5⁰.4,1.60.4;

解(2)1.5⁰.4,1.6⁰.4可看作幂函数y=x⁰.4的两个函数值.该函数在(0,+)

上递增，由于底数1.51.6,所以1.50.41.6⁰.4.

例8比较下列各组中两个数的大小：

(3)1.5-1.5,1.6-1.5.

解(3)1.5-1.5,1.6-1.5可看作幂函数y=x-1.5的两个函数值.该函数在(0,+0)

上递减，由于底数1.51.6,所以1.5-1.51.6-1.5

例9若f(x)是幂函数，且f(8)=16,求f(9),f(64).

解设f(x)=x.

由已知条件得

故,所以

于是,f(64)=645=(26)3=2⁸=256

下面举例说明幂函数在实际生活中的应用.

大雾天，海陆空的交通运输都会受到影响.我们知道，雾是大量小水滴在空

气中悬浮而形成的.请思考：小水滴为什么不掉下来呢?

,而阻力f减小到原来的.相对来说，阻力与