5.4.2.2正弦函数余弦函数的单调性与最值+学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册.docxVIP

第五章三角函数

第五章三角函数

§5.4.2.2正弦函数余弦函数的单调性与最值【导学】

导学目标：

1.了解正弦函数与余弦函数的单调性，

2.会求函数的单调区间并利用函数单调性求函数的最值和值域.

【知识要点】

函数

y=sinx

y=cosx

图象

定义域

值域

递增区间

递减区间

最大值ymax＝1

x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z

x＝2kπ，k∈Z

最小值ymin＝－1

x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z

x＝2kπ+π，k∈Z

求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧

(1)数形结合：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．

(2)整体代换：确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“Z＝ωx＋φ”，即通过求y＝AsinZ的单调区间而求出函数的单调区间．若ω0，则可利用诱导公式将x的系数转化为正数．

比较三角函数值大小的方法

(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．

(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．

三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法

(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．

(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．

(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．值和最小值时的x的集合．

【典型例题】

题型一正、余弦函数的单调性

【例1-1】(链接教材P206例5)求下列函数的单调区间：

(1)；

(2).

【例1-2】函数y＝|sin2x|的一个单调减区间是.

【例1-3】(链接教材P207T5)求函数的单调递减区间．

题型二三角函数值的大小比较

【例2-1】(链接教材P206例4)不通过求值，比较下列各组数的大小：

(1)；

(2).

【例2-2】不通过求值，比较下列各组数的大小：

(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37,6)π))与sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(49,3)π))；(2)sin194°与cos160°.

题型三正、余弦函数的最值(值域)

【例3-1】(链接教材P205例3)下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取得最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值。

f(x)=cosx+1,x∈;

f(x)=3sin2x,x∈.

【例3-2】求函数的值域.

【例3-3】求函数f(x)＝sin2x＋4cosx的最值及取到最大值时自变量x的集合.

【例3-4】求函数f(x)＝3cos2x－2sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的最值．