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经济类一元一次方程应用题

一元一次方程：经济生活中的实用解题工具

一、理解经济问题的核心：等量关系的建立

经济类应用题的核心在于将实际的经济情境转化为数学模型，而一元一次方程的应用关键则是准确找出题目中隐含的等量关系。这需要我们：

1.细致审题：明确题目所描述的经济活动（如销售、利润、成本、折扣、储蓄、借贷等），识别已知量和未知量。

2.梳理关系：理解经济活动中各量之间的内在联系，例如：利润与成本、售价的关系；利息与本金、利率的关系；折扣与原价、现价的关系等。

3.建立等式：根据题意，用含有未知数的代数式表示出相关的量，再依据某个不变的、平衡的关系列出方程。

二、常见经济类一元一次方程应用题类型与解析

（一）商品利润与利润率问题

基本关系：

*利润=售价-成本价（或进价）

*利润率=（利润/成本价）×100%

*售价=成本价×（1+利润率）或售价=标价×折扣

例题：惠民超市购进一批某品牌洗衣液，每瓶的进价是a元。超市按进价提高一定比例后标价，然后在“店庆促销”活动中，按标价的八折出售，每瓶仍可获利b元。请问该品牌洗衣液的标价是多少元？

分析与解答：

设该品牌洗衣液的标价为x元。

已知进价为a元，打八折后的售价为0.8x元。

根据“利润=售价-成本价”，可列出方程：

0.8x-a=b

解此方程：

0.8x=a+b

x=(a+b)/0.8

x=1.25(a+b)

答：该品牌洗衣液的标价是1.25(a+b)元。

点评：此类问题的关键在于紧扣“利润”这个核心等量关系，明确售价、成本、利润三者之间的计算方式。有时题目会给出利润率，需灵活运用利润率公式进行转化。

（二）折扣与定价问题

基本关系：

*现价=原价×折扣（折扣通常用百分数表示，如八折即80%）

*节省金额=原价-现价

例题：某书店为迎接读书节，推出购书优惠活动。一种畅销书原价为每本c元，活动期间，顾客购买该图书享受“买三送一”的优惠。小明想买若干本，他发现这种购买方式比直接打七五折买要少花d元。请问小明计划购买多少本该畅销书？

分析与解答：

设小明计划购买x本。

“买三送一”意味着花3本的钱可以得到4本。我们需要计算出在“买三送一”方式下，x本需要付多少本的钱。

设需要付钱的本数为y，y=3×(x//4)+(x%4)（其中//为整除，%为取余）。但为简化，可考虑每4本为一组，每组花费3c元。若x是4的倍数，总花费为(3c)×(x/4)=0.75cx。这看似与七五折（0.75cx）相同。

但题目说“买三送一”比“直接打七五折”少花d元，这说明x可能不是4的整数倍，导致“买三送一”的实际折扣略低于七五折。

假设x=4k+m，其中k为组数，m为剩余本数（m=1,2,3）。

“买三送一”总花费：3c×k+m×c

直接七五折总花费：0.75c×x=0.75c(4k+m)=3ck+0.75cm

根据题意：(3ck+0.75cm)-(3ck+mc)=d

化简：-0.25cm=d→0.25cm=-d。这里出现矛盾，说明假设m为剩余且需付钱购买可能有误。

重新理解：“买三送一”是买够三本送一本，若小明买了x本，他实际只需支付(x-送的本数)×c元。送的本数为x//4（每买满3本送1本，即每4本中有1本是送的）。

因此，“买三送一”总花费：c×(x-x//4)

直接七五折总花费：0.75cx

根据题意：0.75cx-c(x-x//4)=d

即：c[0.75x-x+x//4]=d→c[x//4-0.25x]=d

设x=4k+m(m=0,1,2,3)，则x//4=k

代入：c[k-0.25(4k+m)]=c[k-k-0.25m]=c(-0.25m)=d

要使等式成立（d为正数），m应为0，但此时等式左边为0。这说明题目可能隐含x足够多，或存在其他理解。

为简化，假设在购买数量使得两种方式看似折扣相同的情况下，题目设定“买三送一”更优惠，可能是指购买n组“买三送一”（即4n本）的花费与单独购买4n本打七五折花费相同，但如果购买的数量不是4的倍数，“买三送一”可能需要多买几本才能享受赠送，从而总价不同。但题目明确说“计划购买若干本”，因此更可能的是，题目中的“买三送一”是