第3章 函数逼近与计算.pptVIP

*第1页，共39页，星期日，2025年，2月5日*第2页，共39页，星期日，2025年，2月5日由于是关于的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件于是有(内积定义)*第3页，共39页，星期日，2025年，2月5日这是关于的线性方程组，称为法方程，由于线性无关，故系数行列式，于是此方程组有唯一解，从而得到*第4页，共39页，星期日，2025年，2月5日定理5.在上线性无关的充分必要条件是它的克来姆（Gramer）行列式，其中*第5页，共39页，星期日，2025年，2月5日若令，则平方误差为由于所以*第6页，共39页，星期日，2025年，2月5日若取，则要在中求n次最佳平方逼近多项式若用H表示对应的矩阵，即*第7页，共39页，星期日，2025年，2月5日此为希尔伯特（Hilbert）矩阵，记，则的解即为所求。*第8页，共39页，星期日，2025年，2月5日例:设，求[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。解:利用公式得方程组为解出*第9页，共39页，星期日，2025年，2月5日平方误差最大误差用做基，求最佳平方逼近多项式，当n较大时，系数矩阵是高度病态的，求法方程的解，舍入误差很大，这时要用正交多项式做基，才能求得最小平方逼近多项式。*第10页，共39页，星期日，2025年，2月5日§4正交多项式若首项系数的n次多项式,满足就称多项式序列，在[a,b]上带权正交，并称是[a,b]上带权的n次正交多项式。*第11页，共39页，星期日，2025年，2月5日构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法定理：按以下方式定义的多项式集合是区间[a,b]上关于权函数的正交函数族。*第12页，共39页，星期日，2025年，2月5日例：求在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。解：构造正交多项式*第13页，共39页，星期日，2025年，2月5日*第14页，共39页，星期日，2025年，2月5日4-1勒让德多项式当区间为［-1,1］，权函数时，由正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用表示。是n次多项式，对其n次求导后得*第15页，共39页，星期日，2025年，2月5日首项的系数显然最高项系数为1的勒让德多项式为*第16页，共39页，星期日，2025年，2月5日勒让德(Legendre)多项式具体表达式为*第17页，共39页，星期日，2025年，2月5日性质1正交性证明：反复用分部积分公式，略。性质2奇偶性n为偶