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《数值分析》章节测试网课答案

一、选择题

1.数值分析的主要目的是（）

A.求解数学模型的精确解

B.研究数学模型的求解方法

C.分析数学模型的误差

D.探讨数学模型的稳定性

答案：B

解析：数值分析主要研究数学模型的求解方法，包括线性方程组、非线性方程、插值与逼近、数值微积分等内容。

2.下列哪种方法是求解线性方程组的迭代法（）

A.高斯消元法

B.克莱姆法则

C.迭代法

D.高斯-赛德尔法

答案：C

解析：迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过逐步逼近的方式求解方程组的解。高斯-赛德尔法是迭代法的一种。

3.下列哪种插值方法适用于高维数据插值（）

A.拉格朗日插值

B.牛顿插值

C.格雷戈里插值

D.最小二乘法

答案：D

解析：最小二乘法适用于高维数据插值，通过最小化误差平方和来求解插值多项式。

4.下列哪种数值积分方法具有较高精度（）

A.梯形法

B.辛普森法

C.梯形复合法

D.梯形积分法

答案：B

解析：辛普森法是一种数值积分方法，具有较高的精度。梯形法、梯形复合法和梯形积分法精度相对较低。

二、填空题

1.高斯消元法的基本思想是利用________将线性方程组化为上三角方程组，然后通过________求解。

答案：行变换，回代

2.牛顿插值多项式的通项公式为________。

答案：N(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+...+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!

3.数值积分中，梯形法的误差是________阶的。

答案：二阶

4.用高斯-赛德尔法求解线性方程组时，需要满足________条件。

答案：矩阵A对角占优

三、判断题

1.数值分析的研究对象是数学模型的离散化方法。（）

答案：√

解析：数值分析主要研究数学模型的离散化方法，包括求解线性方程组、非线性方程、插值与逼近、数值微积分等内容。

2.高斯消元法适用于任意线性方程组。（）

答案：×

解析：高斯消元法适用于系数矩阵为非奇异矩阵的线性方程组。

3.拉格朗日插值多项式是一元多项式。（）

答案：√

解析：拉格朗日插值多项式是一元多项式，用于求解插值问题。

4.辛普森法求解数值积分时，误差与积分区间的长度无关。（）

答案：×

解析：辛普森法求解数值积分时，误差与积分区间的长度有关。

四、简答题

1.简述高斯消元法的原理及步骤。

答案：高斯消元法的原理是通过行变换将线性方程组化为上三角方程组，然后通过回代求解。具体步骤如下：

（1）选取主元：从系数矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元；

（2）消元：利用主元消去下方元素，使系数矩阵化为上三角矩阵；

（3）回代：从上三角矩阵的最后一行开始，逐步求解出各个未知数。

2.请简述牛顿插值的基本思想。

答案：牛顿插值的基本思想是构造一个多项式，使其在插值点处的函数值与原函数相等。具体步骤如下：

（1）选取插值点：在给定区间内选取n+1个插值点；

（2）构造插值多项式：利用插值点构造牛顿插值多项式；

（3）求解插值问题：利用插值多项式求解插值问题。

3.简述梯形法求解数值积分的原理。

答案：梯形法求解数值积分的原理是将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上利用梯形面积近似代替小矩形的面积，从而求解整个积分区间的积分值。具体步骤如下：

（1）划分区间：将积分区间划分为n个小区间；

（2）构造梯形：在每个小区间上构造梯形；

（3）求和：将所有梯形的面积相加，得到整个积分区间的积分值。

五、计算题

1.已知线性方程组：

2x1+x2=4

x1+2x2=5

请用高斯消元法求解该方程组的解。

答案：首先将方程组化为增广矩阵：

21|4

12|5

然后进行行变换：

21|4

03|1

接着进行回代：

x2=1/3

x1=5/3

所以方程组的解为：x1=5/3，x2=1/3。

2.已知函数f(x)=x^2，请利用拉格朗日插值法求f(1.5)的近似值。

答案：首先选取插值点：x0=1，x1=2。然后构造拉格朗日插值多项式：

L(x)=f(x0)*(x-x1)/(x0-x1)+f(x1)*(x-x0)/(x1-x0)

代入x=1.5，得：

L(1.5)=1*(1.5-2)/(1-2)+4*(1.5-1)/(2-1)

=2.25

所以f(1.5)的近似值为2.25。

3.请用辛普森法求解以下定积分的近似值：

∫(0to1)x^3dx

答案：首