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離散選擇模型

§10.1虛擬解釋變數一．測量截距的變動假設農民接受的教育水準以及性別是影響收入的主要因素，虛擬變數Di表示性別，對於女性Di=1，對於男性Di=0。同時，以Yi表示農民的收入，Xi表示農民受教育的水準。農民收入回歸模型：(10.1.1)

如果我們假定模型(10.1.1)中隨機誤差項εi的條件期望為0，則男、女收入的總體回歸函數可表示為： 可以看出，女性收入方程的截距為β0+β2，男性收入方程的截距為β0，由於性別差異所導致男女收入的差異體現在截距上，因此，模型(10.1.1)的虛擬變數描述了男女收入方程中的截距的變化。(10.1.2)

對於類似模型(10.1.1)定義的虛擬變數，把虛擬變數取值為0的一組稱為基準組，而把取值為1的組稱為對照組。對模型(10.1.1)也可以定義男性Di=1，女性Di=0。這樣變化後，請重寫模型（10.1.2），並解釋截距項的變化。

模型中應該引入幾個虛擬變數呢？能否在模型(10.1.1)中再引進一個虛擬變數di，並將其定義為：女性di=0，男性di=1？這樣，回歸模型轉化為(10.1.3) 由於女性Di=1，男性Di=0，所以Di+di=1。這樣將導致完全多重共線性？(提示：可認為β0係數後面也有一個解釋變數，這個解釋變數的取值都為1)。(10.1.3)

當模型存在截距項時，如果定性虛擬變數含有m個分類，則在模型中應引入m-1個虛擬變數。如果引入m個虛擬變數，從而產生完全多重共線性，這就是所謂的虛擬變數陷阱問題。若將模型中的截距項去掉，如果定性虛擬變數含有m個分類，則在模型中應引入m個虛擬變數。模型中應該引入幾個虛擬變數呢？

例10-1下麵以我國2000-2007年季度GDP數據為例來說明虛擬變數如何度量截距的變化，圖10.1是關於GDP的序列圖。圖10.1.1GDP序列圖

結合數據特徵，我們首先定義季度虛擬變數。設定回歸模型為：(10.1.3)

估計結果如下：由於代表第二季度和第三季度的虛擬變數的回歸係數在5%的顯著性水準都不能拒絕零假設，說明第二季度、第三季度的GDP與第一季度的GDP沒有顯著差異。因此，應把第一季度、第二季度、第三季度的GDP歸併在一個組別中，僅需把季度因素分為第四季度和其他季度，這樣我們進而在模型中引入一個虛擬變數D3t。(1.02)t=(6.83)(1.29)(6.05)(16.88)

得到的回歸模型如下：t=(9.43)(6.50)(17.08)從回歸結果看，虛擬變數D3t對應的回歸係數為11122.9與理論預期一致且統計顯著，其含義為，在其他條件不變前提下，平均來說，第4季度比其餘季度的GDP高11122.9億。

二．測量斜率的變動使用虛擬變數也可以測量回歸模型中斜率係數的變化。例如，以國內生產總值(GDP)代表收入，以居民消費支出代表消費(C)。考慮我國的居民收入對居民消費支出的影響。我國居民的邊際消費傾向可能大約在2000年開始發生顯著的變化。定義虛擬變數：

設定回歸模型：2000年前後，我國消費函數的回歸函數為：從(10.1.5)式可以看出，2000年以前的邊際消費傾向為β1+β2，2000年以後的邊際消費傾向為β1，2000年前後消費函數的差異體現在斜率係數上。因此，在回歸模型中以虛擬變數和數值型解釋變數相乘的方式引入虛擬變數，可以用來度量回歸模型斜率係數的變化。(10.1.4)(10.1.5)

估計模型(10.1.4)，結果如下：t=(1.65)(70.10)(2.99)回歸結果表明，估計的β2為0.05，其對應的t統計量值為2.99，可以在5%的顯著性水準上拒絕零假設，因此，我國2000以前的邊際消費傾向顯著高於2000以後的邊際消費傾向，平均來說高0.05。

三．使用虛擬變數檢驗模型的穩定性以城鄉居民儲蓄存款餘額代表居民儲蓄(S)，以GDP代表居民收入。

我們以1990年為分割點設定虛擬變數：Dt=1(1990年以前)，Dt=0(1990年以後)設定儲蓄函數回歸模型：1978-1989年和1990-2006年的儲蓄函數分別是：如果估計的β1顯著不為0，則表明儲蓄函數的截距發生結構變化；如果估計的β3顯著不為0，表明儲蓄函數的斜率係數發生結構變化；如果估計的β1，β3聯合不為零，則表明儲蓄函數的截距和斜率都發生結構變化。(10.1.5)

可以使用通常的t統計量檢驗單個回歸係數β1或β3的顯著性，而對於β1，β3的聯合顯著性，則