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2025年青海高数一（专升本）练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2，求f(x)的零点。

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

解析：求导得到f(x)=3x^26x。令f(x)=0，解得x=0或x=2。因此，f(x)的零点是2，选C。

2.设y=sin(x)+cos(x)，求y的最小值。

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：A

解析：求导得到y=cos(x)sin(x)。令y=0，解得x=π/4+kπ，k为整数。将x代入y，得到y=√2sin(π/4+x)。当x=π/4+2kπ时，y取最小值1，选A。

3.设函数f(x)=e^xx，求f(x)的单调性。

A.单调递增

B.单调递减

C.先递增后递减

D.先递减后递增

答案：A

解析：求导得到f(x)=e^x1。由于e^x1，所以f(x)0，即f(x)在实数域上单调递增，选A。

4.设函数f(x)=x^2sin(x)，求f(x)的一阶泰勒展开式。

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^2+2xsin(x)

C.f(x)=x^2+2xsin(x)x^2cos(x)

D.f(x)=x^2+2xsin(x)x^2cos(x)+sin(x)

答案：C

解析：f(x)=x^2sin(x)在x=0处的泰勒展开式为f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)x^2/2+...。计算得到f(0)=0，f(0)=0，f(0)=2。因此，f(x)的一阶泰勒展开式为f(x)=x^2+2xsin(x)x^2cos(x)，选C。

5.设函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的极值。

A.极大值1，极小值1

B.极大值1，极小值0

C.极大值0，极小值1

D.无极值

答案：A

解析：求导得到f(x)=2x2。令f(x)=0，解得x=1。计算f(1)=0，f(0)=1，f(2)=0。因此，f(x)在x=0处取得极大值1，在x=2处取得极小值1，选A。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=e^xsin(x)，求f(x)=_______。

答案：2e^xcos(x)+e^xsin(x)

2.设函数f(x)=x^33x^2+2，求f(x)的零点坐标为_______。

答案：(0,0)，(2,0)

3.设函数f(x)=x^33x^2+2，求f(x)的拐点坐标为_______。

答案：(1,0)

4.设函数f(x)=x^2sin(x)，求f(x)的极值点为_______。

答案：x=kπ，k为整数

5.设函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的图像的对称轴为_______。

答案：x=1

三、解答题（共50分）

1.（本题15分）设函数f(x)=x^33x^2+2，求f(x)的单调区间、极值及拐点。

答案：f(x)在(∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。f(x)在x=0处取得极大值2，在x=2处取得极小值0。拐点坐标为(1,0)。

2.（本题15分）设函数f(x)=x^2sin(x)，求f(x)的泰勒展开式。

答案：f(x)=x^2+2xsin(x)x^2cos(x)+sin(x)+O(x^3)

3.（本题20分）设函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的最小值及最小值点。

答案：f(x)的最小值为0，最小值点为(1,0)。