第三章多维随机变量及分布.pptVIP

二维正态分布的重要性质：若(X,Y)服从二维正态分布，则同理可得由此性质看到，(X,Y)的边缘分布都与?无关，说明?不同，得到的二维正态分布也不同，但其边缘分布相同。因此边缘分布是不能唯一确定联合分布的，即使X,Y都是服从正态分布的随机变量，(X,Y)不一定是服从二维正态分布。二维正态分布的边缘分布必为一维正态分布，反之不真。第29页，共60页，星期日，2025年，2月5日分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，F(x1,x2,…,xn)＝P(X1?x1,X2?x2,…,Xn?xn)称为的n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数，或随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布函数。第30页，共60页，星期日，2025年，2月5日定义若(X1,X2,…,Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无限多个点，称(X1,X2,…,Xn)为n维离散型随机变量，称P(X1=x1,X2=x2,...Xn=xn)，为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的联合分布律。则称(X1,X2,…,Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,…,xn)为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的概率密度。定义n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,…,xn)使对任意的n元立方体第31页，共60页，星期日，2025年，2月5日求(1)P(X?0)，(2)P(X?1)，(3)P(Y?y0) 练习随机变量(X，Y)的概率密度为yD答:P(X?0)=0Ox1y0y0第32页，共60页，星期日，2025年，2月5日3.2随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性定义设F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数，FX(x)，FY(y)分别是X与Y的边缘分布函数，若对一切x,y∈R，均有P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)?P(Y≤y)即F(x,y)=FX(x)?FY(y)则称随机变量X与Y是相互独立的。此时的边缘分布可确定联合分布随机变量X与Y是相互独立的充要条件是事件(X≤x)与事件(Y≤y)相互独立。第33页，共60页，星期日，2025年，2月5日定理1随机变量X，Y相互独立的充分必要条件是X所生成的任何事件与Y所生成的任何事件相互独立。即，对任意的实数集A，B有：定理2如果随机变量X，Y相互独立，则对任意函数g1(x),g2(y)有g1(X),g2(Y)相互独立第34页，共60页，星期日，2025年，2月5日**若(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…,则X与Y相互独立的充分必要条件是对任意i，j，P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)?P(Y=yj)，即pij=pi??p?j**若(X,Y)是二维连续型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件是对任意的x和yf(x,y)=fX(x)fY(y)。第35页，共60页，星期日，2025年，2月5日例3.13已知(X,Y)的联合分布律为YX1211/31/62a1/93b1/18X123P1/2a+1/9b+1/18Y12Pa+b+1/31/3试确定常数a,b，使X与Y相互独立。解先求出(X,Y)关于X和Y的边缘分布律要使X与Y相互独立，可用pij=pi??p?j来确定a,b。P(X=2,Y=2)=P(X=2)?P(Y=2)，P(X=3,Y=2)=P(X=3)?P(Y=2)，即因此，(X,Y)的联合分布律和边缘分布律为YX12pi?11/31/61/22a1/91/33b1/181/6p?j2/31/3经检验，此时X与Y是相互独立的。第36页，共60页，星期日，2025年，2月5日例3.14设二维随机变量(X,Y)在矩形区域G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布，若试求(U,V)的联合分布律，并判断U与V是否相互独立。解(X,Y)在G上服从均匀分布，则联合密度函数为O12xy1y