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关于春季中国精算师资格练习题指南及答案

选择题

1.已知某保险公司承保的某种保险标的在一年内发生损失的概率为$0.1$，若有$10$个这种保险标的，至少有一个发生损失的概率是（）

A.$10.9^{10}$B.$0.1^{10}$C.$C_{10}^1\times0.1\times0.9^9$D.$1C_{10}^1\times0.1\times0.9^9$

答案：A

详细解答：本题可先求出\(10\)个保险标的都不发生损失的概率，再用\(1\)减去该概率，即可得到至少有一个发生损失的概率。

步骤一：计算\(10\)个保险标的都不发生损失的概率

已知每个保险标的在一年内发生损失的概率为\(0.1\)，那么每个保险标的在一年内不发生损失的概率为\(10.1=0.9\)。

由于各个保险标的是否发生损失是相互独立事件，根据独立事件同时发生的概率公式：若事件\(A\)、\(B\)相互独立，则\(P(AB)=P(A)\timesP(B)\)，可得\(10\)个保险标的都不发生损失的概率为\(0.9^{10}\)。

步骤二：计算至少有一个发生损失的概率

“至少有一个发生损失”的对立事件是“\(10\)个保险标的都不发生损失”，根据对立事件的概率公式：若事件\(A\)与事件\(B\)互为对立事件，则\(P(A)=1P(B)\)，可得至少有一个发生损失的概率为\(10.9^{10}\)。

2.设随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，则\(\lambda\)的值为（）

A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)

答案：B

详细解答：已知随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，可根据泊松分布的概率公式列出关于\(\lambda\)的方程，进而求解\(\lambda\)的值。

步骤一：写出泊松分布的概率公式

若随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，则\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{\lambda}}{k!}\)，其中\(k=0,1,2,\cdots\)。

步骤二：根据已知条件列出方程

已知\(P(X=1)=P(X=2)\)，将\(k=1\)和\(k=2\)代入泊松分布的概率公式，可得\(\frac{\lambda^1e^{\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^2e^{\lambda}}{2!}\)。

步骤三：解方程求出\(\lambda\)的值

因为\(e^{\lambda}\neq0\)，所以方程\(\frac{\lambda^1e^{\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^2e^{\lambda}}{2!}\)两边同时除以\(e^{\lambda}\)，得到\(\frac{\lambda}{1}=\frac{\lambda^2}{2}\)。

移项可得\(\lambda^22\lambda=0\)，提取公因式\(\lambda\)得到\(\lambda(\lambda2)=0\)，则\(\lambda=0\)或\(\lambda2=0\)，解得\(\lambda=0\)或\(\lambda=2\)。

由于泊松分布的参数\(\lambda\gt0\)，所以\(\lambda=0\)舍去，即\(\lambda=2\)。

3.已知某保险产品的保费为\(P\)，保额为\(S\)，若该产品的赔付率为\(r\)（赔付率=赔付金额/保费收入），则该产品的期望赔付金额为（）

A.\(P\timesr\)B.\(S\timesr\)C.\(P\timesr\timesS\)D.无法确定

答案：A

详细解答：根据赔付率的定义，结合已知条件，可直接得出该产品的期望赔付金额。

已知赔付率\(r=\frac{赔付金额}{保费收入}\)，保费收入为\(P\)，设期望赔付金额为\(E\)，则\(r=\frac{E}{P}\)，移项可得\(E=P\timesr\)。

4.设\(X\)和\(Y\)是两个相互独立的随机变量，且\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,4)\)，则\(Z=2X+Y\)服从的分布是（）

A.\(N(1,8)\)B.\(N(1,6)\)C.\(N(2,8)\)D.\(N(2,6)\)

答案：A

详细解答：若两个相互独立的随机变量\(X\)和\(Y\)分别服从正态分布，则它们的线性组合也服从