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2025年江西数学（文科）（专升本）练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)在点x=1处有定义，且lim(x→1)(x^21)/(x1)=2，则f(1)等于（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：A

解析：由于lim(x→1)(x^21)/(x1)=2，根据极限的定义，可以得出：

(x^21)/(x1)=2，当x→1时。

将x=1代入方程，得f(1)=2。

2.已知函数y=f(x)在区间（a,b）内可导，且f(x)0，则函数y=f(x)在区间（a,b）内（）

A.单调递减

B.单调递增

C.先增后减

D.先减后增

答案：B

解析：由于f(x)0，说明函数y=f(x)在区间（a,b）内单调递增。

3.下列函数中，奇函数是（）

A.y=x^3

B.y=x^2

C.y=|x|

D.y=1/x

答案：A

解析：奇函数满足f(x)=f(x)，对于y=x^3，有f(x)=(x)^3=x^3=f(x)，故y=x^3是奇函数。

4.若函数y=f(x)在区间（a,b）内连续，且f(a)=f(b)，则函数y=f(x)在区间（a,b）内（）

A.必有极大值

B.必有极小值

C.必有最大值

D.必有最小值

答案：D

解析：根据闭区间连续函数的极值定理，闭区间上的连续函数必有最大值和最小值。

5.下列积分中，收敛的是（）

A.∫(0→∞)1/xdx

B.∫(∞→0)1/xdx

C.∫(0→1)1/√xdx

D.∫(1→∞)1/x^2dx

答案：D

解析：由于∫(1→∞)1/x^2dx=[1/x](1→∞)=0(1)=1，故积分收敛。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)。

答案：f(x)=3x^26x。

2.求函数y=x^24x+3的最小值。

答案：最小值为1。

3.求极限lim(x→0)(sinxx)/x^3。

答案：lim(x→0)(sinxx)/x^3=1/6。

4.计算定积分∫(0→π)sinxdx。

答案：∫(0→π)sinxdx=cosx(0→π)=(1)(1)=2。

5.求解微分方程dy/dx=2xy。

答案：y=C+x^2（C为常数）。

三、解答题（共50分）

1.（15分）设函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的单调区间和极值。

解：f(x)=2x2，令f(x)=0，得x=1。当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。故f(x)在（∞,1）上单调递减，在（1,+∞）上单调递增。f(1)=0为极小值。

2.（15分）计算定积分∫(0→π)xcosxdx。

解：令u=x，dv=cosxdx，du=dx，v=sinx。根据分部积分公式，得：

∫(0→π)xcosxdx=xsinx(0→π)∫(0→π)sinxdx=πsinπ0[cosx(0→π)]=0(1)(1)=2。

3.（20分）已知函数y=f(x)在区间（a,b）内连续，且f(a)=f(b)。证明：存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。

证明：假设不存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0，则f(x)在（a,b）内恒大于0或恒小于0。不妨设f(x)0，则f(x)在（a,b）内单调递增。由于f(a)=f(b)，与f(x)在（a,b）内单调递增矛盾。故假设不成立，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。