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高中数学超难试题及答案

一、单选题

1.设函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值是（）（2分）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】f(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f(x)=0得x=1±√3/3，f(-1)=-4，f(1)=-1，f(3)=2，最大值为4。

2.已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|ax=1}，若B?A，则a的取值集合为（）（2分）

A.{1,2}B.{1/2,2}C.{1}D.{1,1/2,0}

【答案】A

【解析】A={2,3}，若B=?，则a=0；若B={2}，则a=1/2；若B={3}，则a=1/3；若B={2,3}，则a=1，综上a∈{1,1/2}。

3.若复数z满足|z-1|=1，则|z|的最大值是（）（2分）

A.1B.2C.3D.√2

【答案】C

【解析】设z=x+yi，则(x-1)^2+y^2=1，|z|^2=x^2+y^2，x^2+y^2的最大值为(x-1)^2+y^2+2x=3，故最大值为√3。

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，b=√3，C=π/3，则cosA的值为（）（2分）

A.1/2B.√3/2C.1/√3D.√3/4

【答案】B

【解析】由余弦定理得cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2，又C=π/3，故A=π/3，cosA=√3/2。

5.设函数f(x)=|x-1|+|x-2|，则f(x)的最小值是（）（1分）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】f(x)在x=1.5处取得最小值1。

6.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_3=6，则a_5的值为（）（2分）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】由S_3=3a_2=6得a_2=2，故公差d=a_2-a_1=1，a_5=a_1+4d=5。

7.在直角坐标系中，点P(x,y)在曲线y=1/x上运动，则点P到直线x-y=0的距离的最小值是（）（2分）

A.1/√2B.√2/2C.1D.√2

【答案】B

【解析】点P到直线x-y=0的距离d=|x-y|/√2=|x-1/x|/√2，令g(x)=x-1/x，g(x)=1+1/x^20，故g(x)在(0,+∞)上单调递增，最小值为g(1)=0，故最小距离为√2/2。

8.若函数f(x)=sin^2x+acosx+b在x=π/4处取得最大值√2，则a+b的值为（）（2分）

A.1B.2C.√2D.√3

【答案】C

【解析】f(π/4)=1/2+√2a/2+b=√2，f(x)=cosx(2sinx+a)，令x=π/4得√2/2(√2+a)=0，故a=-√2，b=1，a+b=1。

9.已知圆O的半径为1，点P在圆外，OP=2，则点P到圆O上任意一点的距离的最小值为（）（2分）

A.1B.√3C.2D.3

【答案】B

【解析】最小值为OP-半径=√3。

10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，则f(-3)与f(2)的大小关系是（）（2分）

A.f(-3)f(2)B.f(-3)=f(2)C.f(-3)f(2)D.无法确定

【答案】C

【解析】由奇函数性质得f(-3)=-f(3)，f(2)f(3)，故f(-3)f(2)。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）

A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若a^2b^2，则abD.若ab0，则1/a1/b

【答案】B、D

【解析】A反例：a=1，b=-2；B对非负实数成立；C反例：a=-2，b=-1；D对正实数成立。

2.以下函数中，在定义域上单调递增的是（）

A.y=x^3B.y=1/xC.y=lnxD.y=2^x

【答案】A、C、D

【解析】y=x^3的导数为3x^2≥0；y=1/x的导数为-1/x^20；y=lnx的导数为1/x0；y=2^x的导数为2^xln20。

3.以下不等式成立的是（）

A.√21.414B.log_2√3log_23C.2^10010^30D.10^√22^√3

【答案】A、C

【解析】A对；B反例：log_2√3≈0.584log_23≈1.585；C对；D反例：10^√2≈10^1.414≈25.122^√3≈2^1.732≈3.297。

4.以下数列中，是等比数列的是（）

A.a_n=2nB.a_n=3^nC.a_n=2n+1D.a_n=n^2

【答案】B

【解析】B的相邻项之比为常数3。

5.以下图形中，是正多边形的是（）

A.正方形B.矩形C.等边三角形D.等腰梯形

【答案】A、C

【解析】正多边形定义：各边相等且各角相等的多边形。

三、填空题

1.函数f(x)=x^3-