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2025年江西数学（理科）（专升本）练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在x=0处取得极小值

B.f(x)在x=1处取得极大值

C.f(x)在x=1处取得极小值

D.f(x)在x=2处取得极大值

答案：C

解析：f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。f(x)=6x，f(1)=60，所以f(x)在x=1处取得极小值；f(1)=60，所以f(x)在x=1处取得极大值。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+3n，则数列{an}的通项公式是（）

A.an=4n+1

B.an=4n1

C.an=2n+3

D.an=2n1

答案：B

解析：当n=1时，a1=S1=5。当n≥2时，an=SnSn1=(2n^2+3n)(2(n1)^2+3(n1))=4n1。因此，数列{an}的通项公式为an=4n1。

3.若函数g(x)=x^2+k在区间(∞,+∞)内有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（）

A.k0

B.k=0

C.k0

D.k≠0

答案：A

解析：函数g(x)=x^2+k的图像是一个开口向上的抛物线，当k0时，抛物线与x轴有两个不同的交点，即函数有两个不同的零点。

4.已知函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，且f(3)=1，则f(1)的值为（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：C

解析：由于函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，所以f(1)=f(3)=1。

5.设函数y=ln(x2)，则函数的定义域是（）

A.x2

B.x≥2

C.x2

D.x≠2

答案：A

解析：由于对数函数的定义域要求x20，所以x2。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数y=x^24x+3的最小值是______。

答案：1

解析：函数y=x^24x+3可以写成y=(x2)^21，所以最小值是1。

2.等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，则数列{an}的公差是______。

答案：4

解析：an=SnSn1=(2n^2+n)(2(n1)^2+(n1))=4n1，所以公差是4。

3.函数y=e^x+e^x在区间(0,+∞)内的最小值是______。

答案：2

解析：y=e^xe^x，令y=0，得x=0。y=e^x+e^x0，所以x=0时，函数取得最小值。此时y=e^0+e^0=2。

4.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2的取值范围是______。

答案：(0,1]

解析：圆心(0,0)到直线的距离为d=|b|/√(k^2+1)，因为直线与圆相切，所以d=1，即|b|/√(k^2+1)=1。两边平方得k^2+b^2=1。

5.设函数y=x^33x+2，则函数的极值点是______。

答案：x=1和x=1

解析：f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。f(x)=6x，f(1)=60，所以x=1是极大值点；f(1)=60，所以x=1是极小值点。

三、解答题（共50分）

1.（本题10分）已知函数f(x)=x^36x+9，求函数的单调区间。

解：f(x)=3x^26，令f(x)=0，得x=±√2。f(x)=6x，f(√2)=6√20，f(√2)=6√20。所以函数在(∞,√2)和(√2,+∞)内单调递增，在(√2,√2)内单调递减。

2.（本题10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+3n，求数列{an}的通项公式。

解：当n=1时，a1=S1=5。当n≥2时，an=SnSn1=(2n^2+3n)(2(n1)^2+3(n1))=4n1。因此，数列{an}的通项公式为an=4n1。

3.（本题15分）已知函数y=ln(x2)，求函数的导数。

解：y=(ln(x2))=1/(x2)。

4.（本题15分）已知函数y=x^2+