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高三数学理科重要考点梳理与练习

高三数学复习，犹如在浩渺的知识海洋中导航，明确方向、抓住重点至关重要。理科数学知识点繁多，综合性强，对逻辑思维和运算能力要求高。本文旨在梳理高三数学理科的核心考点，并辅以针对性练习，帮助同学们巩固基础、提升能力，为高考冲刺做好充分准备。

一、函数与导数

函数是高中数学的基石，导数则是研究函数性质、解决实际问题的锐利工具。此部分在高考中占据极大比重，既是基础，也是难点。

核心考点梳理：

1.函数的概念与表示：定义域、值域、解析式（特别是分段函数）。

2.函数的基本性质：单调性（判断与证明、求单调区间）、奇偶性（定义、图像特征）、周期性（定义、常见周期函数）、对称性。

3.基本初等函数：

*一次函数、二次函数（含最值、零点分布）。

*指数函数、对数函数（图像、性质、运算性质、反函数概念）。

*幂函数（常见幂函数的图像与性质）。

4.函数的图像：作图（平移、伸缩、对称变换）、识图、用图。

5.函数与方程：函数零点的概念、零点存在性定理、二分法（了解）。

6.导数的概念及其几何意义：导数的定义（极限形式）、导数的物理意义（瞬时变化率）、几何意义（切线斜率）。

7.导数的运算：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则（链式法则）。

8.导数的应用：

*研究函数的单调性（导数符号与单调性的关系）。

*求函数的极值与最值。

*解决不等式恒成立、能成立问题（构造函数，利用导数研究单调性、最值）。

*解决方程根的个数问题（转化为函数图像交点问题，利用导数分析函数形态）。

*实际应用问题（最优化问题）。

9.定积分与微积分基本定理：（理科要求）定积分的概念与几何意义、微积分基本定理、简单定积分的计算、定积分在几何（面积）及物理中的应用。

典型例题与练习：

例题1：已知函数\(f(x)=\lnx+ax^2-(2a+1)x\)(其中\(a\)为常数)。

(1)讨论函数\(f(x)\)的单调性；

(2)若\(a0\)，试求函数\(f(x)\)的极值点。

思路分析：本题考查导数在研究函数单调性与极值中的应用。首先确定定义域，然后对函数求导，通过导函数的符号来判断函数的单调性，进而确定极值点。需要对参数\(a\)进行分类讨论。

练习1：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)。

(1)求\(f(x)\)的单调区间；

(2)求\(f(x)\)在区间\([-1,3]\)上的最大值与最小值。

练习2：设函数\(f(x)=e^x-ax-1\)，其中\(a\)为实数。若\(f(x)\)在定义域\(\mathbf{R}\)上单调递增，求\(a\)的取值范围。

二、三角函数与解三角形

三角函数是描述周期现象的重要数学模型，解三角形则是其在实际测量中的直接应用。

核心考点梳理：

1.三角函数的概念：任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、三角函数线。

2.同角三角函数基本关系：平方关系、商数关系。

3.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

4.三角函数的图像与性质：

*\(y=\sinx\)，\(y=\cosx\)，\(y=\tanx\)的图像、定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值、对称中心、对称轴。

*函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)+B\)（或\(y=A\cos(\omegax+\varphi)+B\)）的图像与性质：振幅、周期、频率、相位、初相；图像的平移与伸缩变换；根据图像求解析式。

5.三角恒等变换：两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式；辅助角公式（合一变形）。

6.解三角形：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式；解三角形的实际应用（测量距离、高度、角度等，注意仰角、俯角、方位角等概念）。

典型例题与练习：

例题2：已知函数\(f(x)=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x\)。

(1)求函数\(f(x)\)的最小正周期和单调递增区间；

(2)当\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)时，求函数\(f(x)\)的最大值和最小值。

思路分析：本题考查三角恒等变换（辅助角公式）以及三角函数的图像与性质。首先利用辅助角公式将函数化为\(y=A\sin(\omegax+\varphi)+B\)的形式，再求解周期、单调