有理系数多项式.pptxVIP

主要内容引入本原多项式第九节有理系数多项式整系数多项式的分解定理整系数多项式的有理根的求法举例整系数多项式不可约的条件

二、本原多项式1.定义设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一有理系数多项式.选取适当的整数c乘f(x)，总可以使cf(x)是一整系数多项式.如果cf(x)的各项系数有公因子，就可以提出来，得到

cf(x)=dg(x)，也就是例如?1的公因子.其中g(x)是整系数多项式，且各项系数没有异于

定义10如果一个非零的整系数多项式g(x)=bnxn+bn-1xn-1+…+b01的系数bn,bn-1,…,b0没有异于?1的公因子，也2就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项3式.4上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多5项式f(x)都可以表示成一个有理数r与一个本原多6项式g(x)的乘积，即7

f(x)=rg(x).可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果f(x)=rg(x)=r1g1(x),其中g(x),g1(x)都是本原多项式，r=?r1,g(x)=?g1(x).因为f(x)与g(x)只差一个常数倍，所以f(x)的因式分解问题，可以归结为本原多项式g(x)的因那么必有

下面我们进一步指出，一个本原多项01式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘02乘积的问题是一致的.03积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的04作为准备，我们先证05性质06定理10(高斯(Gauss)引理)两个本原多07项式的乘积还是本原多项式.08式分解问题.

证明设g(x)=bmxm+bm-1xm-1+…+b0f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,是两个本原多项式，h(x)=f(x)g(x)=dn+mxn+m+dn+m-1xn+m-1+…+d0是它们的乘积.我们用反证法.如果h(x)不是本原的，也就是说h(x)的系数dn+m,dn+m-1,…,d0有而

一异于?1的公因子，那么就有一个素数p能整除h(x)的每一个系数.因为f(x)是本原的，所以p不能同时整除f(x)的每一个系数.令ai是第一个不能被p整除的系数，即p|a0,…,p|ai-1,p|ai.同样地，g(x)也是本原的，令bj是第一个不能被p整除的系数，即p|b0,…,p|bj-1,p|bj.

我们来看h(x)的系数di+j,由乘积的定义di+j=aibj+ai+1bj-1+ai+2bj-2+...+ai-1bj+1+ai-2bj+2+….由上面的假设，p整除等式左端的di+j，p整除右端aibj以外的每一项，但是p不能整除aibj.这是不可能的.这就证明了，h(x)一定也是本原多项式.证毕

三、整系数多项式的分解定理定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.证明设整系数多项式f(x)有分解式f(x)=g(x)h(x)，其中g(x),h(x)是有理系数多项式，且?(g(x))?(f(x))，?(h(x))?(f(x)).

令f(x)=af1(x)，g(x)=rg1(x)，h(x)=sh1(x)，这里f1(x)，g1(x)，h1(x)都是本原多项式，a是整数，r,s是有理数.于是af1(x)=rsg1(x)h1(x).由g1(x)h1(x)是本原多项式，从而rs=?a.这就是说，rs是一整数.因此，我们有

f(x)=(rsg1(x))h1(x).这里rsg1(x)与h1(x)都是整系数多项式，且次数都1低于f(x)的次数.2证毕3由定理的证明容易得出4推论设f(x)，g(x)是整系数多项式，且5(x)是本原的.6如果f(x)=g(x)h(x)，其中h(x)7是有理系数多项式，那么h(x)一定是整系数的.8

四、整系数多项式的有理根的求法定理12设f(x)=anxn+an-1x