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2025年考研数学真题特点及答案

一、单项选择题

1.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=1$，则（）

A.$f(0)$是$f(x)$的极大值

B.$f(0)$是$f(x)$的极小值

C.$f(x)$在$x=0$处不可导

D.$(0,f(0))$是曲线$y=f(x)$的拐点

答案：B

2.已知向量组$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,3,4)^T$，$\alpha_3=(3,4,5)^T$，则该向量组的秩为（）

A.1

B.2

C.3

D.0

答案：B

3.设$A$为$3$阶方阵，且$|A|=2$，则$|2A^{-1}+A^|$的值为（）

A.4

B.6

C.8

D.10

答案：C

4.设随机变量$X$服从正态分布$N(1,4)$，已知$\Phi(1)=0.8413$，则$P(X\leq3)$的值为（）

A.0.8413

B.0.6826

C.0.9772

D.0.5

答案：A

5.函数$f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y$在点$(1,-2)$处（）

A.取得极大值

B.取得极小值

C.不取得极值

D.无法确定是否取得极值

答案：B

6.设函数$y=y(x)$由方程$e^{x+y}-xy=1$所确定，则$\frac{dy}{dx}|_{x=0}$的值为（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

答案：A

7.已知级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则下列级数一定收敛的是（）

A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|$

B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$

C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n+a_{n+1})$

D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$

答案：C

8.设$A$，$B$为$n$阶方阵，且$AB=O$，则下列结论一定成立的是（）

A.$A=O$或$B=O$

B.$|A|=0$或$|B|=0$

C.$(A+B)^2=A^2+B^2$

D.$A$与$B$都不可逆

答案：B

9.设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\begin{cases}2x,0\ltx\lt1\\0,\text{其他}\end{cases}$，则$E(X^2)$的值为（）

A.$\frac{1}{3}$

B.$\frac{1}{2}$

C.$\frac{2}{3}$

D.1

答案：A

10.曲线$y=\frac{1}{x-1}$的渐近线有（）

A.1条

B.2条

C.3条

D.0条

答案：B

二、多项选择题

1.下列函数在其定义域内连续的有（）

A.$y=\frac{1}{x}$

B.$y=\sinx$

C.$y=\sqrt{x}$

D.$y=\begin{cases}x+1,x\geq0\\x-1,x\lt0\end{cases}$

答案：BC

2.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可导，则下列结论正确的有（）

A.若$f(x)$在$[a,b]$上单调递增，则$f^\prime(x)\geq0$在$[a,b]$上恒成立

B.若$f^\prime(x)\gt0$在$(a,b)$内恒成立，则$f(x)$在$[a,b]$上单调递增

C.若$f(x)$在$[a,b]$上有最大值和最小值，则$f(x)$在$[a,b]$上一定连续

D.若$f(x)$在$[a,b]$上可导，则$f(x)$在$[a,b]$上一定有最大值和最小值

答案：AB

3.设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关，则（）

A.该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示

B.该向量组中任意一个向量都可由其余向量线性表示

C.存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$

D.该向量组的秩小于$s$

答案：ACD

4.设$A$为$n$阶方阵，下列命题正