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大二概率论考试题及答案

一、选择题（每题4分，共20分）

1.随机变量X服从标准正态分布，即X～N(0,1)，那么P(X0)等于多少？

-A.0.5

-B.0.3

-C.0.7

-D.0.9

答案：A

解析：标准正态分布是关于0对称的，因此P(X0)等于P(X0)，两者相加等于1，所以P(X0)等于0.5。

2.如果随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么E(X)等于多少？

-A.np

-B.n(1-p)

-C.p

-D.1-p

答案：A

解析：二项分布的期望值E(X)等于试验次数n乘以每次试验成功的概率p。

3.两个独立的随机变量X和Y，如果P(XY)=0.5，那么P(XY)等于多少？

-A.0.5

-B.0.3

-C.0.7

-D.0.9

答案：A

解析：由于X和Y是独立的随机变量，P(XY)和P(XY)是对称的，所以P(XY)也等于0.5。

4.如果随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，那么P(X=0)等于多少？

-A.λ

-B.1-λ

-C.e^(-λ)

-D.λ^0

答案：C

解析：泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!，当k=0时，P(X=0)=e^(-λ)。

5.已知随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=0，那么X和Y是否一定独立？

-A.是

-B.否

-C.不确定

-D.无法判断

答案：B

解析：协方差为0只说明X和Y不相关，但不一定独立。独立是比不相关更强的条件。

二、填空题（每题4分，共20分）

1.如果随机变量X服从均匀分布U(a,b)，那么其概率密度函数f(x)为______。

答案：\[f(x)=\frac{1}{b-a}\]，当a≤x≤b。

解析：均匀分布的概率密度函数在区间[a,b]上是常数，且总概率为1，所以密度函数为1/(b-a)。

2.随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，那么其期望E(X)为______。

答案：μ

解析：正态分布的期望值就是其均值μ。

3.随机变量X服从指数分布Exp(λ)，那么其方差Var(X)为______。

答案：\[\frac{1}{\lambda^2}\]

解析：指数分布的方差是其均值的平方，即1/λ^2。

4.如果随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=3，相关系数ρ(X,Y)=0.5，那么Var(X)为______。

答案：12

解析：相关系数ρ(X,Y)定义为Cov(X,Y)/√(Var(X)Var(Y))，所以Var(X)=Cov(X,Y)^2/(ρ(X,Y)^2Var(Y))，假设Var(Y)=1，则Var(X)=3^2/(0.5^2)=12。

5.随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么其方差Var(X)为______。

答案：np(1-p)

解析：二项分布的方差是试验次数n乘以每次试验成功的概率p和失败的概率(1-p)的乘积。

三、计算题（每题15分，共30分）

1.已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，求P(1X3)。

答案：0.6826

解析：

首先将X标准化，即Z=(X-μ)/σ，其中μ=2，σ=2。

P(1X3)=P((1-2)/2Z(3-2)/2)=P(-0.5Z0.5)。

查标准正态分布表，P(Z0.5)=0.6915，P(Z-0.5)=0.3085。

所以P(1X3)=P(Z0.5)-P(Z-0.5)=0.6915-0.3085=0.6826。

2.已知随机变量X服从二项分布B(10,0.3)，求P(X=5)。

答案：0.1201

解析：

使用二项分布的概率质量函数P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n=10，p=0.3，k=5。

P(X=5)=C(10,5)0.3^50.7^5=2520.002430.16807=0.1201。

四、简答题（每题10分，共20分）

1.什么是条件概率？如何计算条件概率？

答案：

条件概率是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记作P(B|A)。条件概率的计算公式为P(B|A)=P(A∩B)/P(A)，其中P(A∩B)是事件A和B同时发生的概率，P(A)是事件A发生的概率。

解析：

条件概率是概率论中的一