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高等几何试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在射影几何中，两个不同点对应的直线称为（）（2分）

A.射影对应B.透视对应C.射影变换D.配极对应

【答案】B

【解析】透视对应是指两个不同点对应的直线。

2.下列图形中，不是欧氏几何中的正多边形的是（）（2分）

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

【答案】无（在高等几何中，所有正多边形都属于欧氏几何）

3.在仿射几何中，保持平行性不变的性质称为（）（2分）

A.仿射不变性B.射影不变性C.度量不变性D.拓扑不变性

【答案】A

【解析】仿射几何中保持平行性不变的性质称为仿射不变性。

4.在射影平面上，三点共线的充分必要条件是（）（2分）

A.三点距离相等B.三点坐标满足线性方程C.三点连线交于一点D.三点面积相等

【答案】C

【解析】三点共线的充分必要条件是三点连线交于一点。

5.在欧氏几何中，下列哪个性质不是通过公理化方法推导出来的？（）（2分）

A.两点确定一条直线B.平行公理C.欧拉公式D.勾股定理

【答案】C

【解析】欧拉公式不是通过公理化方法推导出来的。

6.在射影几何中，对偶原理是指（）（2分）

A.点与线的互换B.点与平面的互换C.直线与平面的互换D.三角形与四面体的互换

【答案】A

【解析】对偶原理是指点与线的互换。

7.在仿射几何中，下列哪个性质是仿射不变量？（）（2分）

A.角度B.面积C.距离D.平行性

【答案】D

【解析】仿射几何中，平行性是仿射不变量。

8.在欧氏几何中，下列哪个性质不是通过平行公理推导出来的？（）（2分）

A.三角形内角和为180度B.平行线间的距离相等C.勾股定理D.三角形外角和为360度

【答案】B

【解析】平行线间的距离相等不是通过平行公理推导出来的。

9.在射影几何中，对偶点的定义是（）（2分）

A.共线的三点B.共线的两点C.共线的四点D.共线的三点与两点

【答案】B

【解析】对偶点的定义是共线的两点。

10.在仿射几何中，下列哪个性质不是仿射不变量？（）（2分）

A.角度B.面积C.平行性D.距离

【答案】A

【解析】仿射几何中，角度不是仿射不变量。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些属于射影几何的基本元素？（）（4分）

A.点B.线C.面D.体E.射影变换

【答案】A、B、C

【解析】射影几何的基本元素包括点、线和面。

2.以下哪些性质是欧氏几何中的不变量？（）（4分）

A.角度B.面积C.距离D.平行性E.射影对应

【答案】A、B、C

【解析】欧氏几何中的不变量包括角度、面积和距离。

3.以下哪些性质是仿射几何中的不变量？（）（4分）

A.角度B.面积C.平行性D.距离E.仿射变换

【答案】C、D、E

【解析】仿射几何中的不变量包括平行性、距离和仿射变换。

4.以下哪些属于射影几何的基本定理？（）（4分）

A.对偶原理B.德萨格定理C.帕斯卡定理D.欧拉公式E.平行公理

【答案】A、B、C

【解析】射影几何的基本定理包括对偶原理、德萨格定理和帕斯卡定理。

5.以下哪些性质是欧氏几何中的公理？（）（4分）

A.两点确定一条直线B.平行公理C.欧拉公式D.勾股定理E.三角形内角和为180度

【答案】A、B、E

【解析】欧氏几何中的公理包括两点确定一条直线、平行公理和三角形内角和为180度。

三、填空题（每题4分，共20分）

1.射影几何中，两个不同点对应的直线称为__________。（4分）

【答案】透视对应

2.仿射几何中，保持平行性不变的性质称为__________。（4分）

【答案】仿射不变性

3.射影平面上，三点共线的充分必要条件是__________。（4分）

【答案】三点连线交于一点

4.欧氏几何中，下列哪个性质不是通过公理化方法推导出来的？__________。（4分）

【答案】欧拉公式

5.射影几何中，对偶原理是指__________。（4分）

【答案】点与线的互换

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）

【答案】（×）

【解析】如-5+(-3)=-8，和比两个数都小。

2.在欧氏几何中，两点确定一条直线（）（2分）

【答案】（√）

【解析】在欧氏几何中，两点确定一条直线。

3.在仿射几何中，保持平行性不变的性质称为仿射不变性（）（2分）

【答案】（√）

【解析】在仿射几何中，保持平行性不变的性质称为仿射不变性。

4.在射影平面上，三点共线的充分必要条件是三点连线交于一点（）（2分）

【答案】（√）

【解析】在射影平面上，三点共线的充分必要条件是三点连线交于一点。

5.在欧氏几何中，三角形内角和为180度（）（2分）

【答案】（√）

【解析】在欧氏几何中，三角形内角和为180度。

6.在射影几何中，对偶原理是指点与线的互换（）