微分几何 曲面上的测地线.pptVIP

第1页，共36页，星期日，2025年，2月5日定义：曲线（c）在P点的曲率向量上的投影（即在S上P点的切平面上的投影）称为曲线在P点的测地曲率。第2页，共36页，星期日，2025年，2月5日二、性质命题1：证明：注意：都在P点的法面上。第3页，共36页，星期日，2025年，2月5日测地曲率的几何意义：曲面S上的曲线（C），它在P点的测地曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线的曲率。证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是，（C）和都是柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。取为柱面上P点的法向量，由于柱面垂直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平行于切平面，又P在切平面上，所以柱面在P的法向量应在切平面上，而（C）点的切向量也在切平面上，所以柱面在P的法截面就是切向量与法向量所确定的平面，法截面与柱面的交线就是法截线，因此柱面在方向的法曲率由于，其中k为（C）在P点的曲率，为（C）的主法向量和柱面在P点的法向量之间的角，即第4页，共36页，星期日，2025年，2月5日推论：曲面上的直线的测地曲率为0。这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还是直线，所以曲率为0。习题3。第5页，共36页，星期日，2025年，2月5日三、测地曲率的计算公式第6页，共36页，星期日，2025年，2月5日第7页，共36页，星期日，2025年，2月5日特别地，当曲面上的坐标网为正交网时，F=0，代入上式并整理得这就是测地曲率的一般计算公式。第8页，共36页，星期日，2025年，2月5日下面给出一个简单一点的形式。设曲线的切方向与u-线所成的角为，则第9页，共36页，星期日，2025年，2月5日同理代入前面的kg的计算公式可得这个公式称为刘维尔(liouville)公式。也可写为其中分别为u线和v线的测地曲率。事实上，对于u线和v线来说，分别有，代入测地曲率的计算公式有第10页，共36页，星期日，2025年，2月5日6、2曲面上的测地线一、定义：曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为0，则称为测地线。二、性质1）如果曲面上有直线，则必为测地线。2）命题3：曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是，除了曲率为0的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线。证明：设曲线（c）为测地线（不是直线），则但即，所以主法线重合于法线。反之，若主法线重合于法线，则，得所以曲线是测地线。第11页，共36页，星期日，2025年，2月5日推论：如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲面的测地线，则它也是另一个曲面的测地线。证明：因为这两个曲面沿曲线相切，所以曲面沿曲线的法线重合，又此曲线的主法线只有一条，所以此曲线的主法线同时与两个曲面沿此曲线的法线重合，由命题知推论成立。例：球面上的大园一定是测地线，因为大园的主法线重合于法线。第12页，共36页，星期日，2025年，2月5日三、测地线的方程设（C）为测地线，则它的主法线重合于法线，即但又g=det(gkl)不为0，于是得到测地线方程为第13页，共36页，星期日，2025年，2月5日特别地，当坐标曲线正交时，由刘维尔公式也得到曲面上测地线的微分方程为若给出了初始条件：则有唯一解例题1，2。第14页，共36页，星期日，2025年，2月5日四、定理：过曲面上任一点，给定曲面上一个切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向。证明：设测地线方程为满足上述方程的曲线都是测地线，给出了初始条件：s=s0，即一个点