2025 年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛) 暨 2025 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)及参考答案.docxVIP

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2025年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)及参考答案

一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.

1.若log39x,log927x,log27

答案:9.

解:设log3x=t,则2+t,3+t2,1+t3

2.设集合A={1,2,3,?,100

答案:194.

解:当a∈[0,∞)时,a2+2a关于a严格递增,故B=A=100(X表示有限集X

所以A∪

3.设点P在椭圆Γ1:x220+y225=1上,F1,F2为Γ1的两个焦点,线段F1P交椭圆Γ

答案:14+

解:由于25-20=14-9,故F1,F2

由椭圆的定义知PF1+

PQ

所以10+214-2QF1=PQ

4.设函数fx的定义域为R,gx=x-1fx,hx=fx+x

答案:14

解:对任意x∈R,有g-x=-

所以x-

因此fx=-xx+1=14-x+12

5.若正整数k满足sin20°cos25°+sin25°cos20

答案:18.

解:由于

sin

=

故

sin

上式为实数当且仅当sin50k°=0,即18∣5k,

6.设Γ为任意四棱柱,在Γ的12条棱中随机选取两条不同的棱l1,l2,将事件“l1所在直线与l2所在直线平行”发生的概率记为PΓ

答案:533

解:记Γ为ABCD-A1B1C1D1,则AB//

考虑底面ABCD的形状.当两组对边都不平行时,PΓ=C22×4+C42C122=533;当ABCD为梯形时,PΓ

7.平面中的3个单位向量a,b,c满足a?b=a?c+b?c(其中

答案:{1

解:由a?b≤a?b=1及

若a?b=1,则a=b,此时a?c

若a?b=-1,则b=-a,此时a+b+c=c=1(相应的例子存在,例如c

若a?b=0,

记fθ

当θ=0或π2时,fθ=1≠0,当θ∈

当θ∈0,π2时,f

a

综上,a+b+c

8.将1,2,3,?,9排列为a,b,c,d,e

答案:1944.

解:记A=

由条件知A+B+C=1

注意到C为5的倍数,且1+2+3≤C

从而A+B=30,且100A+

满足A=19,B=11且{a,d,g}与{b,e,h}是{1,2,3,?,9}的两个不交的集合的情形,恰有如下连线所表示的9种,每种情形均使集合{c

二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9.(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中,点集

Γ=

若Γ中的3个不同的点M,P,Q满足:M为PQ的中点,且OP?OQ=-2

解:根据条件,Γ是x轴负半轴与抛物线Ω:y2=4x

假如P,Q均在x轴负半轴上,则OP?OQ0,

假如P,Q均在Ω上,则PQ的中点M不可能在Ω上,且M也不可能在x轴负半轴上,与M∈

因此,可不妨设P在x轴负半轴上,Q在抛物线Ω上,易知此时M在Ω上.

设Pa,0,Qb

由M为PQ的中点知a+b2=

所以OP?OQ

由-8m4=-2得m=±22,故点M的坐标为

10.(本题满分20分)设正四面体ABCD各棱长均为2,P,Q分别是棱AB,AC上的动点(允许位于棱的端点),AP+AQ=2,M为棱AD的中点.在△MPQ中,MH为

解法1:设AP=

由∠BAD=∠CAD=∠BAC=60

MP

MQ

PQ

因此cos∠PMQ=M

2

=

所以MH=2

由基本不等式得

MH

当1+3t2=2,即t=±33时

解法2:取点M在平面ABC上的射影N,则有MH≥MN

取点D在平面ABC上的射影O.由正四面体的性质知O为正三角形ABC的中心,又由M为AD的中点知N为AO的中点.从而

MH≥MN

下面证明存在P,Q的适当位置,使得点N,

让动点P从AB的中点P1出发沿AB边向点B运动,点Q从AC的中点Q1出发沿CA边向A运动,始终保持AP+AQ=2.记PQ与AO的交点为T,则最初T为线段P1Q1与AO的交点,在线段NO上,最终T重合于A,故在运动过程中存