高中学科竞赛试题与分析报告.docxVIP

第PAGE页共NUMPAGES页

高中学科竞赛试题与分析报告

一、填空题（共5题，每题4分，合计20分）

1.已知函数$f(x)=x^3-ax+1$在$x=1$处取得极值，则实数$a$的值为________。

2.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_5=10$，$S_{10}=100$，则公差$d$等于________。

3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次出现的点数之和为7的概率为________。

4.已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in(0,\pi)$，则$\cos\alpha$的值为________。

5.抛物线$y^2=8x$的焦点坐标为________。

二、选择题（共5题，每题5分，合计25分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）

A.$y=-2x+1$

B.$y=\frac{1}{x}$

C.$y=x^2$

D.$y=\lnx$

2.已知集合$A=\{x|x^2-3x+2=0\}$，$B=\{x|ax=1\}$，若$B\subseteqA$，则实数$a$的取值集合为（）

A.$\{1,\frac{1}{2}\}$

B.$\{1\}$

C.$\{\frac{1}{2}\}$

D.$\emptyset$

3.在三棱锥$P-ABC$中，底面$ABC$是边长为2的正三角形，$PA\perp$平面$ABC$，且$PA=2$，则点$P$到直线$BC$的距离为（）

A.1

B.$\sqrt{2}$

C.$\sqrt{3}$

D.2

4.已知实数$x$满足不等式$x^2-4x+3\leq0$，则$f(x)=x^2+2x+5$的最小值为（）

A.1

B.4

C.5

D.8

5.已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$，则$f(x)$的图像关于直线$x=\frac{\pi}{4}$对称的点的坐标为（）

A.$(\frac{\pi}{4},1)$

B.$(\frac{\pi}{2},1)$

C.$(\frac{3\pi}{4},1)$

D.$(\frac{\pi}{4},\sqrt{2})$

三、解答题（共4题，合计35分）

1.（8分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$。

(1)求函数$f(x)$的单调区间；

(2)求函数$f(x)$在$[-2,3]$上的最大值和最小值。

2.（8分）在直角三角形$ABC$中，$\angleC=90^\circ$，$\sinA=\frac{3}{5}$，$BC=6$。

(1)求$AC$的长度；

(2)求以$A$为圆心，$AB$为半径的圆与直线$BC$的位置关系。

3.（9分）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_n+a_{n+1}=2n$（$n\in\mathbb{N}^*$）。

(1)求数列$\{a_n\}$的通项公式；

(2)求数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$。

4.（10分）如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA=AD=2$，$AB=1$。

(1)求证：平面$PAC\perp$平面$PBC$；

(2)求二面角$A-PBC$的余弦值。

答案

一、填空题（共5题，每题4分，合计20分）

1.3

2.2

3.$\frac{1}{6}$

4.$-\frac{4}{5}$

5.$(2,0)$

二、选择题（共5题，每题5分，合计25分）

1.D

2.A

3.B

4.C

5.A

三、解答题（共4题，合计35分）

1.解：

(1)函数$f(x)$的导数为$f(x)=3x^2-6x$。令$f(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。当$x\in(-\infty,0)$时，$f(x)0$；当$x\in(0,2)$时，$f(x)0$；当$x\in(2,+\infty)$时，$f(x)0$。因此，函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$，单调递减区间为$(0,2)$。

(2)$f(-2)=-8+12+2=6$，$f(0)=2$，$f(2)=8-12+2=-2$，$f(3)=27-27+2=2$。因此，函数$f(x)$在$[-2,3]$上的最大值为6，最小