数学第十章有限元法.pptVIP

第1页，共28页，星期日，2025年，2月5日一、有限元方法解题分析为了说明应用有限元方法的解题步骤，以及每一步骤中的要点，下面我们以两点边值问题为例进行具体分析。考虑两点边值问题其中我们将从Ritz法和Galerkin法两种观点出发，导出解边值问题（1.1）、（1.2）的线性有限元方法。第2页，共28页，星期日，2025年，2月5日（一）从Ritz法出发建立有限元方程1、写出Ritz形式的变分问题由变分原理可知，与边值问题（1.1）（1.2）等价的变分问题是：求其中积分表达式（1.3）是应用有限元法求解（1.1）、（1.2）式的出发点。第3页，共28页，星期日，2025年，2月5日2、区域剖分剖分原则与差分法相同，即将求解区域剖分成若干个互相连接，且不重叠的子区域，这些子区域称为单元。单元的几何形状可以人为选取，一般是规则的，但形状与大小可以不同。对于一维情形最为简单：将求解区域剖分成若干个子区间，其节点为每个单元的长度为单元在区间中分布的疏密程度或单元尺寸的大小，可根据问题的物理性质来决定，一般来说，在物理量变化剧烈的地方，单元尺寸要相对小一些，排列要密一些。3、确定单元基函数有限元法与Ritz-Galerkin方法的主要区别之一，就在于有限元方法中的基函数是在单元中选取的。由于各第4页，共28页，星期日，2025年，2月5日个单元具有规则的几何形状，而且可以不比考虑边界条件的影响，因此在单元中选取基函数可遵循一定的法则。设为的有限维子空间，它的元素为要构造，只需构造单元基函数。构造单元基函数应遵循如下原则：（1）、每个单元中的基函数的个数和单元中的节点数相同，每个节点分别对应一个基函数，本例中，单元有两个节点，因此基函数有两个。（2）基函数应具有下面的性质：其中是单元节点序号为k的节点。第5页，共28页，星期日，2025年，2月5日若取为线性函数，则按上述原则，可将中的基函数取为显然，中任一函数可以表示为基函数的线性组合，即（1.4）第6页，共28页，星期日，2025年，2月5日其中，是在节点上的值，即在单元上，表示为可见，单元中的近似函数由单元基函数线性组合产生，全区域的近似函数由各个单元的近似函数叠加而成。从以上可以看出，是满足下列条件的所有函数的集合：第7页，共28页，星期日，2025年，2月5日故是的一个n维子空间，称为试探函数空间称为试探函数。4、有限元方程的形成与Ritz法一样，以代替，在上解泛函数（1.3）的极小问题。将（1.5）代入（1.3），得第8页，共28页，星期日，2025年，2月5日令便得到确定的线性代数方程组称（1.7）为有限元方程。显然，只要我们分别算出及就可以求解（1.7）。但在工程计算中，并不是按照上述步骤形成有限元方程的，而是首先建立单元有限元特征式（称这一过程为单元分析），然后再将单元的有限元特征式进行累加，合成为总体有限元方程（这一过程称为总体合成）。第9页，共28页，星期日，2025年，2月5日下面分步分析具体的计算方法。第一步：单元分析。注意到我们来计算单元上的积分。为讨论方便，作变换并引入记号则在上，可写成第10页，共28页，星期日，2025年，2月5日或写成（1.10）其中，而可表示为式中，于是有第11页，共28页，星期日，2025年，2月5日这里，称为单元刚度矩阵，其中对（1.8）式右端第二项积分，同样有第12页，共28页，星期日，2025年，2月5日式中，称为单元“荷载”向量。根据以上分析，便有这样，我们就得到了单元有限元特征式的一般表示形式：第13页，共28页，星期日，2025年，2月5日第二步：总体合成总体合成就是将单元的有限元特征式进行累加，合成为总体有限元方程。这一过程实际上是将单元有限元特征式中的系数矩阵逐个累加，合成为