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复变函数试题及答案

一、单项选择题

1.设\(z=x+yi\)，则\(e^{z}\)等于（）

A.\(e^{x}(\cosy+i\siny)\)

B.\(e^{x}(\cosy-i\siny)\)

C.\(e^{y}(\cosx+i\sinx)\)

D.\(e^{y}(\cosx-i\sinx)\)

答案：A

2.函数\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)处的留数为（）

A.-1

B.1

C.0

D.不存在

答案：A

3.若\(f(z)\)在单连通域\(D\)内解析，\(C\)为\(D\)内的任意一条正向简单闭曲线，则\(\oint_{C}f(z)dz\)等于（）

A.0

B.\(2\pii\)

C.\(2\piif(z_{0})\)（\(z_{0}\)为\(C\)内任一点）

D.不确定

答案：A

4.幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}\)的收敛半径为（）

A.1

B.\(+\infty\)

C.0

D.不确定

答案：B

5.设\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在区域\(D\)内解析，\(u(x,y)=x^{2}-y^{2}\)，则\(v(x,y)\)等于（）

A.\(2xy+C\)（\(C\)为常数）

B.\(-2xy+C\)

C.\(x^{2}+y^{2}+C\)

D.\(-x^{2}-y^{2}+C\)

答案：A

6.复数\(i^{100}\)的值为（）

A.1

B.-1

C.\(i\)

D.\(-i\)

答案：A

7.下列函数中为解析函数的是（）

A.\(|z|\)

B.\(z\)

C.\(\overline{z}\)

D.\(z^{2}\)

答案：B

8.设\(C\)为正向圆周\(|z|=1\)，则\(\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz\)等于（）

A.0

B.\(2\pii\)

C.\(-2\pii\)

D.不确定

答案：C

9.若\(f(z)\)在\(z_{0}\)处可导，则\(f(z)\)在\(z_{0}\)处（）

A.连续

B.可微

C.解析

D.以上都对

答案：D

10.幂级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}z^{n-1}\)的收敛半径为（）

A.2

B.\(\frac{1}{2}\)

C.\(+\infty\)

D.0

答案：A

二、多项选择题

1.下列函数在复平面上处处解析的有（）

A.\(e^{z}\)

B.\(z^{2}\)

C.\(\sinz\)

D.\(\cosz\)

答案：ABCD

2.设\(f(z)\)在区域\(D\)内解析，\(C\)为\(D\)内的正向简单闭曲线，\(z_{0}\)为\(C\)内一点，则（）

A.\(f(z_{0})=\frac{1}{2\pii}\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz\)

B.\(\oint_{C}f(z)dz=0\)

C.\(f(z)\)在\(z_{0}\)处可导

D.\(f(z)\)在\(z_{0}\)处连续

答案：ACD

3.下列级数收敛的有（）

A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\)

B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)

C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}\)

D.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)

答案：AC

4.设\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在区域\(D\)内解析，则（）

A.\(u(x,y)\)，\(v(x,y)\)在\(D\)内可微

B.\(u_{x}=v_{y}\)，\(u_{y}=-v_{x}\)在\(D\)内成立

C.\(f(z)=u_{x}+iv_{x}=u_{x}-iu_{y}\)

D.\(f(z)\)在\(D\)内的积分与路径无关

答案：ABCD

5.复数的三角表示形式为（）

A.\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

B.\(z=r(\cos\theta-i\sin\theta)\)

C.\(z=r(\sin\theta+i\cos\theta)\)

D.\(z=r(\sin\theta-i\cos\theta)\)

答案：A

三、判断题

1.任何一个复数都