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高级数学简单题目及答案

一、单项选择题

1.若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，则\(f(x)\)在\(x_0\)处（）

A.连续

B.可微

C.连续且可微

D.以上都不对

答案：C

2.设\(f(x)\)在\(x=0\)处可导，且\(f(0)=0\)，则\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\)等于（）

A.\(f(0)\)

B.\(f^\prime(0)\)

C.\(0\)

D.不存在

答案：B

3.曲线\(y=x^3-3x^2+1\)在点\((1,-1)\)处的切线方程为（）

A.\(y=3x-4\)

B.\(y=-3x+2\)

C.\(y=-4x+3\)

D.\(y=4x-5\)

答案：B

4.设函数\(f(x)\)在\(x=2\)处可导，且\(f^\prime(2)=3\)，则\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2-h)}{2h}\)等于（）

A.\(3\)

B.\(6\)

C.\(9\)

D.\(12\)

答案：A

5.下列函数中，在\(x=0\)处不可导的是（）

A.\(y=|x|\)

B.\(y=x^2\)

C.\(y=e^x\)

D.\(y=\ln(1+x)\)

答案：A

6.设\(f(x)\)在\(x=a\)处可导，\(g(x)\)在\(x=a\)处不可导，则\(f(x)g(x)\)在\(x=a\)处（）

A.可导

B.不可导

C.不一定可导

D.以上都不对

答案：C

7.曲线\(y=\frac{1}{x}\)在点\((1,1)\)处的切线斜率为（）

A.\(1\)

B.\(-1\)

C.\(2\)

D.\(-2\)

答案：B

8.若函数\(f(x)\)在\(x=0\)处可导，且\(f(0)=0\)，\(f^\prime(0)=2\)，则\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}\)等于（）

A.\(0\)

B.\(1\)

C.\(2\)

D.不存在

答案：D

9.设\(f(x)\)在\(x=a\)处可导，\(g(x)\)在\(x=a\)处可导，则\(f(x)+g(x)\)在\(x=a\)处（）

A.可导

B.不可导

C.不一定可导

D.以上都不对

答案：A

10.曲线\(y=\lnx\)在点\((1,0)\)处的切线方程为（）

A.\(y=x-1\)

B.\(y=-x+1\)

C.\(y=2x-2\)

D.\(y=-2x+2\)

答案：A

二、多项选择题

1.下列函数在\(x=0\)处可导的有（）

A.\(y=x^2\sinx\)

B.\(y=|x|\cosx\)

C.\(y=\begin{cases}x^2,x\geq0\\-x^2,x\lt0\end{cases}\)

D.\(y=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},x\neq0\\0,x=0\end{cases}\)

答案：ACD

2.若函数\(f(x)\)在\(x=a\)处可导，则下列极限存在的有（）

A.\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

B.\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}\)

C.\(\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

D.\(\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

答案：ABC

3.曲线\(y=x^3-3x\)的切线斜率可能为（）

A.\(-3\)

B.\(0\)

C.\(3\)

D.\(6\)

答案：ABC

4.设\(f(x)\)在\(x=a\)处可导，\(g(x)\)在\(x=a\)处不可导，则下列说法正确的有（）

A.\(f(x)+g(x)\)在\(x=a\)处不可导

B.\(f(x)g(x)\)在\(x=a\)处不可导

C.\(\frac{f(x)}{g(x)}\)在\(x=a\)处不可导（\(g(a)\neq0\)）

D.\(|f(x)|g(x)\)在\(x=a\)处不可导

答案：AC

5.下列求导公式正确