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统计学t检验简介(二)

一、t检验的基本概念与起源

t检验（t-test）是一种广泛应用于统计学中的假设检验方法，主要用于判断两组数据的均值是否存在显著差异。它由英国统计学家威廉·西利·戈塞特（WilliamSealyGosset）于1908年以“Student”为笔名发表的论文中提出，因此t检验也常被称为学生t检验（Studentst-test）。

当时，戈塞特在都柏林的吉尼斯啤酒厂工作，他需要解决小样本情况下的质量控制问题。传统的统计方法在样本量较小时往往无法准确估计总体参数，而他在实践中发现了一种基于t分布的检验方法，能够在小样本条件下有效地进行均值差异的检验。这一发现为小样本统计推断奠定了基础，极大地推动了统计学在各个领域的应用。

二、t分布的特点

t分布是t检验的理论基础，它类似于正态分布，但具有不同的形态。t分布的形状取决于自由度（degreesoffreedom，df），自由度是一个与样本量和计算统计量时的约束条件相关的参数。

当自由度较小时，t分布的尾部比正态分布更厚，意味着在小样本情况下，极端值出现的概率相对较大。随着自由度的增加，t分布逐渐趋近于标准正态分布。当自由度趋近于无穷大时，t分布就与标准正态分布完全重合。

t分布的概率密度函数较为复杂，但我们可以通过图形直观地理解其特点。在实际应用中，我们可以利用t分布表或统计软件来查找不同自由度和显著性水平下的临界值，从而进行假设检验。

三、单样本t检验

（一）适用场景

单样本t检验用于比较一个样本的均值与一个已知的总体均值是否存在显著差异。例如，我们想知道某班级学生的平均身高是否与全国同年龄段学生的平均身高有显著不同，就可以使用单样本t检验。

（二）检验步骤

1.提出假设

零假设（$H_0$）：样本均值等于已知总体均值，即$\mu=\mu_0$，其中$\mu$是样本所代表的总体均值，$\mu_0$是已知的总体均值。

备择假设（$H_1$）：样本均值不等于已知总体均值，即$\mu\neq\mu_0$（双侧检验）；或者样本均值大于已知总体均值，即$\mu\mu_0$（单侧检验）；或者样本均值小于已知总体均值，即$\mu\mu_0$（单侧检验）。

2.计算t统计量

t统计量的计算公式为：$t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$，其中$\bar{X}$是样本均值，$S$是样本标准差，$n$是样本量。

3.确定自由度和临界值

自由度为$df=n-1$。根据事先设定的显著性水平$\alpha$（通常为0.05）和自由度，从t分布表中查找临界值。对于双侧检验，临界值为$\pmt_{\alpha/2,df}$；对于单侧检验，临界值为$t_{\alpha,df}$（右侧检验）或$-t_{\alpha,df}$（左侧检验）。

4.做出决策

（三）示例

假设已知全国同年龄段学生的平均身高为165cm，我们随机抽取了一个班级的30名学生，测量他们的身高，得到样本均值为168cm，样本标准差为5cm。我们想检验该班级学生的平均身高是否与全国同年龄段学生的平均身高有显著不同。

1.提出假设

$H_0$：$\mu=165$

$H_1$：$\mu\neq165$

2.计算t统计量

$t=\frac{168-165}{5/\sqrt{30}}\approx3.29$

3.确定自由度和临界值

自由度$df=30-1=29$，取显著性水平$\alpha=0.05$，双侧检验的临界值$t_{0.025,29}\approx\pm2.045$。

4.做出决策

四、独立样本t检验

（一）适用场景

独立样本t检验用于比较两个独立样本的均值是否存在显著差异。例如，比较男性和女性的平均收入、两种不同教学方法下学生的平均成绩等。

（二）前提条件

1.独立性：两个样本中的观测值相互独立，即一个样本中的观测值不会影响另一个样本中的观测值。

2.正态性：两个总体都服从正态分布，或者样本量足够大（通常$n_1\geq30$且$n_2\geq30$），根据中心极限定理，样本均值近似服从正态分布。

3.方差齐性：两个总体的方差相等，即$\sigma_1^2=\sigma_2^2$。

（三）检验步骤

1.提出假设

零假设（$H_0$）：两个总体的均值相等，即$\mu_1=\mu_2$。

备择假设（$H_1$）：两个总体的均值不相等，即$\mu_1\neq\mu_2$（双侧检验）；或者$\mu_1\mu_2$（单侧检验）；或者$\mu_1\mu_2$（单侧检验）。

2.检验方差