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2013线性代数试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）

A.(1,0,1),(2,1,3),(1,1,2)

B.(1,1,1),(1,2,3),(2,3,5)

C.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

D.(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)

【答案】C

【解析】向量组C中的向量是标准单位向量，显然线性无关。

2.矩阵A=\(\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)的行列式为（）（2分）

A.-2

B.2

C.-5

D.5

【答案】D

【解析】\(\text{det}(A)=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\)，因此行列式为-2。

3.下列矩阵中，可逆矩阵是（）（2分）

A.\(\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}\)

【答案】B

【解析】矩阵B的行列式为\(\text{det}(B)=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\)，不为零，因此可逆。

4.下列向量中，是向量(1,2,3)的倍数的是（）（2分）

A.(2,4,6)

B.(1,1,1)

C.(3,6,9)

D.(1,3,5)

【答案】A

【解析】向量(2,4,6)是向量(1,2,3)的倍数，因为(2,4,6)=2\cdot(1,2,3)。

5.下列矩阵中，属于正交矩阵的是（）（2分）

A.\(\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\)

【答案】C

【解析】矩阵C是正交矩阵，因为其列向量是单位向量且互相正交。

6.下列方程组中，无解的是（）（2分）

A.\(x+y=1\)

B.\(2x+2y=2\)

C.\(x-y=1\)

D.\(x+y=2\)

【答案】D

【解析】方程组A、B、C的系数矩阵行列式不为零，有唯一解；方程组D中两个方程线性相关，有无穷多解。

7.下列矩阵中，属于对称矩阵的是（）（2分）

A.\(\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}13\\31\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}01\\-10\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}12\\23\end{pmatrix}\)

【答案】B

【解析】矩阵B是对称矩阵，因为\(B=B^T\)。

8.下列向量组中，线性相关的是（）（2分）

A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

B.(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)

C.(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)

D.(1,1,1),(1,2,3),(2,3,5)

【答案】B

【解析】向量组B中第二个向量是第一个向量的倍数，第三个向量是前两个向量的线性组合，因此线性相关。

9.下列矩阵中，属于可逆矩阵的是（）（2分）

A.\(\begin{pmatrix}10\\00\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}\)

【答案】C

【解析】矩阵C的行列式为\(\text{det}(C)=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\)，不为零，因此可逆。

10.下列矩阵中，属于正定矩阵的是（）（2分）

A.\(\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}-10\\0-1\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}11\\12\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\)

【答案】D

【解析】矩阵D是正定矩阵，因为其特征值均为