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2009复赛试题及答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.2009年复赛试题中，若函数f(x)满足f(2x)=f(x)+x，则f(0)的值为（）（1分）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】令x=0，则f(0)=f(0)+0，故f(0)=0。

2.2009年复赛试题中，方程|2x-1|=3的解集为（）（1分）

A.{-1,2}B.{-2,1}C.{-1,4}D.{-4,2}

【答案】A

【解析】由|2x-1|=3可得2x-1=3或2x-1=-3，解得x=2或x=-1。

3.2009年复赛试题中，若向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a·b的值为（）（1分）

A.1B.5C.-1D.-5

【答案】B

【解析】向量a·b=1×3+2×(-1)=5。

4.2009年复赛试题中，不等式3x^2-12x+90的解集为（）（1分）

A.{x|x1}B.{x|x3}C.{x|x1或x3}D.{x|x=1或x=3}

【答案】C

【解析】3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)0，解得x1或x3。

5.2009年复赛试题中，圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）（1分）

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

【答案】C

【解析】圆方程可化为(x-2)^2+(y+3)^2=16，圆心坐标为(2,3)。

6.2009年复赛试题中，函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值为（）（1分）

A.√2B.2C.1D.√3

【答案】A

【解析】f(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2。

7.2009年复赛试题中，若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=a_n+2n，则a_10的值为（）（1分）

A.990B.9900C.1990D.19900

【答案】A

【解析】a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+...+(a_n-a_{n-1})=1+2+4+...+2(n-1)=1+2(1+2+...+(n-1))=1+2(n(n-1)/2)=n^2，故a_10=100。

8.2009年复赛试题中，若三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，且sinA:sinB:sinC=3:4:5，则cosA的值为（）（1分）

A.1/2B.3/5C.4/5D.1/3

【答案】B

【解析】由正弦定理得a:b:c=3:4:5，设a=3k，b=4k，c=5k，则cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(16k^2+25k^2-9k^2)/(2×4k×5k)=3/5。

9.2009年复赛试题中，若复数z满足z^2=1-i，则|z|的值为（）（1分）

A.√2B.1C.√3D.2

【答案】A

【解析】z^2=1-i=(√2)(cos(3π/4)+isin(3π/4))，则z=±√2(cos(3π/8)+isin(3π/8))，故|z|=√2。

10.2009年复赛试题中，若直线y=kx+1与圆x^2+y^2-2x+4y-3=0相切，则k的值为（）（1分）

A.-2B.2C.1/2D.-1/2

【答案】A

【解析】圆方程可化为(x-1)^2+(y+2)^2=8，圆心(1,-2)，半径2√2，则圆心到直线y=kx+1的距离为2√2，即|k+2|/√(1+k^2)=2√2，解得k=-2。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.2009年复赛试题中，以下关于函数y=1/x的说法正确的有（）（4分）

A.定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)B.值域为(-∞,0)∪(0,+∞)

C.在(-∞,0)上单调递增D.是奇函数

【答案】A、B、D

【解析】y=1/x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，值域也为(-∞,0)∪(0,+∞)，在(-∞,0)上单调递减，是奇函数。

2.2009年复赛试题中，以下不等式成立的有（）（4分）

A.x^21B.x^2+x+10C.|x|2D.x^2-4x+30

【答案】B、C

【解析】x^21成立当x-1或x1；x^2+x+10恒成立；|x|2成立当x-2或x2；x^2-4x+30成立当1x3。

3.2009年复赛试题中，以下关于数列的说法正确的有（）（4分）

A.等差数列的前n项和为Sn=n(a_1+a_n)/2

B.等比数列的前n项和为Sn=a_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）

C.等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d

D.等比数列的通项公式为a_n=a_1q^(n-1)

【答案】A、B、C、D

【解析】以上均为等差数列和等比数列的基本性质。

4.2009年复赛试题中，以下关于三角函数的说法正确的有（）（4分）

A.sin(π/2-x)=cosxB.cos(π-x)=-cosx

C.tan(π/2-x)=cotxD.sin(x+π/2)=c