向量与向量的线性组合.pptVIP

第1页，共24页，星期日，2025年，2月5日（一）向量及其线性运算二维向量二元有序数组（x,y）(x,y)0三维向量三元有序数组（x,y,z）n维行向量n元有序数组ai?的第i个分量n维列向量1.定义第2页，共24页，星期日，2025年，2月5日分量为实数的向量称为实向量；分量为复数的向量称为复向量。负向量n维(基本)单位向量：零向量特殊向量：或第3页，共24页，星期日，2025年，2月5日2.运算相等加法减法数乘k?(k1)k?(k0)设第4页，共24页，星期日，2025年，2月5日向量的加法与数乘满足下列运算规律：3.运算律对于所有n维向量组成的集合，按定义的加法和数乘，满足八条运算法则，我们称这个集合对规定的加法和数乘构成一个n维向量空间。记为Rn.定义3.4（P.122（126）)与矩阵的加法、数乘运算律同。第5页，共24页，星期日，2025年，2月5日例（P.123（127））解第6页，共24页，星期日，2025年，2月5日用向量的观点看矩阵则或第7页，共24页，星期日，2025年，2月5日用向量的观点看线性方程可写成：即线性方程组的向量表示系数列向量第8页，共24页，星期日，2025年，2月5日令称为满足方程的一个解向量。第9页，共24页，星期日，2025年，2月5日例（P.110(113))方程组若记方程组有解使得第10页，共24页，星期日，2025年，2月5日（二）向量组的线性组合问题的提出：线性方程组可用向量表示为方程组是否有解的问题归结为：是否存在一组数使得上式成立。则称?是向量组的线性组合或称?可由向量组线性表示（或线性表出）定义3.5（P.124(128)）对于给定的向量若存在一组数使得可否全为零？1.定义如前例第11页，共24页，星期日，2025年，2月5日例（P.124例3(129例2)）零向量是任何向量组的线性组合。设任一向量组为，一些常用结果零向量数零第12页，共24页，星期日，2025年，2月5日n维单位向量组（基本向量）：例（P.124例2(129例1)）任何n维向量都可由n维基本单位向量组线性表示。例（P.125例4（129例3））向量组中任一向量都可由这个向量组线性表出。因为组内向量可由本组向量表示第13页，共24页，星期日，2025年，2月5日2.能否表示的判定定理及求组合系数的方法对比线性方程组的向量表示：及线性组合的定义：知，?是否为向量组的线性组合，等价于方程组有无解，等价于r(A|?)是否等于r(A)。设其中第14页，共24页，星期日，2025年，2月5日定理3.3（P.124（128））?可由向量组线性表示以向量?j为列！注意：若?，?j是行向量，则须组合系数为方程组的解。思考题：若?可由向量组线性表示，问：“表示”是否唯一？列向量，行变换！第15页，共24页，星期日，2025年，2月5日例5P.125判断向量是否各为下列向量组的线性组合。若是，写出表示式。解(1)（表示唯一吗？）第16页，共24页，星期日，2025年，2月5日(2)第17页，共24页，星期日，2025年，2月5日