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2017年小学奥数一笔画专题练习题解析

各位同学，大家好！今天我们来一起探讨小学奥数中一个非常经典且有趣的专题——“一笔画”问题。这个问题不仅能锻炼我们的观察力和逻辑思维能力，还充满了图形的奥秘。很多同学在初次接触时可能会觉得无从下手，但只要掌握了其中的规律，就能轻松应对各类相关题目。下面，我们将结合2017年相关的奥数练习题，从基础概念到解题技巧，进行详细的解析。

一、一笔画的基本概念与判断法则

在开始解题之前，我们必须先明确几个关键的概念，并牢记一笔画的判断法则，这是解决所有一笔画问题的基础。

1.奇点与偶点

*偶点：从一个点出发的线段（或射线）的条数是双数（0、2、4、6……），这样的点就称为偶点。

*奇点：从一个点出发的线段（或射线）的条数是单数（1、3、5、7……），这样的点就称为奇点。

重要提示：一个孤立的点（没有线段连接），可以看作是从它出发的线段条数为0，因此它也是偶点。

2.一笔画图形的判断标准

一个连通的图形（指图形中所有部分都是连在一起的，没有断开的），能否一笔画成，取决于它的奇点个数：

*情况一：图形中没有奇点（即全是偶点）。

这种图形可以一笔画成。画的时候，可以从任意一个偶点出发，最后必然能回到这个出发点。

*情况二：图形中只有两个奇点。

这种图形也可以一笔画成。画的时候，必须从其中一个奇点出发，最后一定能到达另一个奇点。

*情况三：图形中奇点的个数超过两个（如3个、4个等）。

这种图形不能一笔画成。

特别强调：如果图形不是连通的（即分成了好几块，相互不连接），那么无论各部分奇点情况如何，整个图形都不能一笔画成。

二、2017年小学奥数一笔画专题练习题解析

接下来，我们将结合几道典型的练习题，运用上述法则进行分析和解答。

例题1：判断下列图形能否一笔画成，并说明理由。

（*此处假设有一个简单的图形描述，例如：一个三角形内部连接一个顶点和对边中点的图形*）

图形描述：一个普通的三角形ABC，连接顶点A与BC边的中点D。

解析：

1.判断图形是否连通：此图形中，所有线段都连接在一起，是连通图形。

2.数出各点的奇点数与偶点数：

*点A：从A出发有AB、AC、AD三条线段→3是单数→奇点。

*点B：从B出发有BA、BD两条线段→2是双数→偶点。

*点C：从C出发有CA、CD两条线段→2是双数→偶点。

*点D：从D出发有DB、DC、DA三条线段→3是单数→奇点。

3.根据法则判断：此图形共有2个奇点（A和D），符合“只有两个奇点”的情况。

结论：该图形能一笔画成。画法是从奇点A出发，到奇点D结束，或者从奇点D出发，到奇点A结束。

例题2：下面是一个“田”字格图形，它能一笔画成吗？为什么？

图形描述：标准的“田”字，有四条边和两条对角线（形成“井”字结构）。

解析：

1.判断图形是否连通：“田”字格是一个连通图形。

2.数出各点的奇点数与偶点数：

“田”字格共有9个交点（包括外围四个顶点和内部五个点）。我们来分析几个关键的点：

*外围四个顶点（如左上角顶点）：从该点出发有两条线段→偶点。

*内部十字交叉点（中心）：从中心出发有四条线段→偶点。

*内部非中心的四个点（如“田”字中上横与左竖的交点）：从该点出发有四条线段→偶点。

（*更简便的方法：“田”字格可以看作是四个小正方形组成，每个小正方形的四个顶点在计算整体时，部分点会重合。但仔细观察会发现，“田”字格实际上有4个奇点，即位于“田”字四个“口”的中心位置的点吗？不，更准确地数法是，每个“口”字的四个角点在“田”字中，位于边缘的点是2条线段，内部交叉点是4条线段。实际上，“田”字格的奇点数量是4个。*）

更准确计数：对于“田”字格，我们可以看到，它有四个“角”上的点（外围顶点）是偶点，四条边中点各有一个点，每个这样的点连接两条线段（如上边中点，连接左右），也是偶点。中心一个点，连接四条线段，偶点。那么奇点在哪里呢？哦，不，“田”字格是不能一笔画的经典反例，它的奇点数量是4个。对，是四个位于“田”字中间十字线与外框边的四个交点吗？不是。正确的是，“田”字格有4个奇点。

3.根据法则判断：此图形奇点个数为4个，超过了2个。

结论：该“田”字格图形不能一笔画成。

例题3：一个图形如下图所示（假设为一个具体的路径图，如公园小路平面图），甲乙两人分别从A、B两点出发，谁能不重复地走遍所有小路？

图形描述：一个简单的路径图，A点和B点是其中两个顶点，图中共有若干条连接这些顶点的小路（线段），经观察，该图中只有A和B两个奇点，其余均为偶点。

解析：

1.判断图形是否连通：这是一个连通的路径图。

2.分析奇点情况：题目中已提