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2025年经典抽象函数题目及答案

一、单项选择题

1.已知函数\(f(x)\)对于任意实数\(x\)、\(y\)都有\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且\(f(1)=2\)，则\(f(3)\)的值为（）

A.4B.6C.8D.10

答案：B

2.设\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，则\(f(-1)\)的值为（）

A.-1B.1C.3D.-3

答案：A

3.已知函数\(f(x)\)满足\(f(x+2)=-f(x)\)，若\(f(1)=3\)，则\(f(5)\)等于（）

A.3B.-3C.6D.-6

答案：B

4.函数\(f(x)\)对于任意\(x\)满足\(f(x+4)=f(x)\)，且当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=x^2\)，则\(f(5)\)的值为（）

A.0B.1C.4D.9

答案：B

5.若函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，且\(f(x+1)=f(x-1)\)，当\(x\in[0,1]\)时，\(f(x)=x\)，则\(f(2.5)\)的值为（）

A.0B.0.5C.1D.1.5

答案：B

6.已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的函数，且\(f(x+y)=f(x)\cdotf(y)\)，\(f(1)=2\)，则\(\frac{f(2)}{f(1)}+\frac{f(4)}{f(3)}+\frac{f(6)}{f(5)}+\cdots+\frac{f(2024)}{f(2023)}\)的值为（）

A.1012B.2024C.1011D.2022

答案：B

7.函数\(f(x)\)满足\(f(xy)=f(x)+f(y)\)，且\(f(2)=1\)，则\(f(8)\)的值为（）

A.1B.2C.3D.4

答案：C

8.设\(f(x)\)是定义在\((0,+\infty)\)上的增函数，且\(f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)\)，若\(f(3)=1\)，\(f(a)-f(\frac{1}{a-5})\geq2\)，则\(a\)的取值范围是（）

A.\((5,+\infty)\)B.\([6,+\infty)\)C.\((5,6]\)D.\((0,6]\)

答案：B

9.已知函数\(f(x)\)对任意\(x\)，\(y\inR\)都有\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且当\(x\gt0\)时，\(f(x)\lt0\)，\(f(1)=-2\)，则\(f(x)\)在\([-3,3]\)上的最大值为（）

A.6B.4C.0D.-6

答案：A

10.函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f(4-x)\)，且\(f(x)\)在\((2,+\infty)\)上单调递增，则\(f(0)\)，\(f(3)\)，\(f(6)\)的大小关系为（）

A.\(f(0)\ltf(3)\ltf(6)\)B.\(f(3)\ltf(0)\ltf(6)\)

C.\(f(6)\ltf(3)\ltf(0)\)D.\(f(0)\ltf(6)\ltf(3)\)

答案：A

二、多项选择题

1.已知函数\(f(x)\)满足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，则下列说法正确的是（）

A.\(f(0)=0\)

B.\(f(x)\)是奇函数

C.若\(f(2)=2\)，则\(f(1)=1\)

D.\(f(x)\)在\(R\)上一定是单调函数

答案：ABC

2.设\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，且\(f(x+2)=f(x)\)，当\(x\in[0,1]\)时，\(f(x)=x\)，则（）

A.\(f(-1)=1\)

B.\(f(2.5)=0.5\)

C.\(f(x)\)在\([1,2]\)上单调递减

D.\(f(x)\)的图象关于直线\(x=1\)对称

答案：ABCD

3.已知函数\(f(x)\)对于任意\(x\)，\(y\inR\)都有\(f(xy)=f(x)f(y)\)，且\(f(0)\neq0\)，\(f(1)=1\)，则（）

A.\(f(1)=f(-1)=1\)

B.\(f(x)\)是偶函数

C.若\(f(2)=4\)，则\(f(\frac{1}{2})=\frac{