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上页下页铃结束返回首页线性代数正交向量第1页，共21页，星期日，2025年，2月5日向量的内积设有n维向量x?(x1?x2?????xn)T?y?(y1?y2?????yn)T?令[x?y]?x1y1?x2y2?????xnyn?[x?y]称为向量x与y的内积?说明?内积是两个向量之间的一种运算?其结果是一个实数?用矩阵记号表示?当x与y都是列向量时?有[x?y]?xTy?下页第2页，共21页，星期日，2025年，2月5日向量的内积设有n维向量x?(x1?x2?????xn)T?y?(y1?y2?????yn)T?令[x?y]?x1y1?x2y2?????xnyn?[x?y]称为向量x与y的内积?内积的性质设x?y?z为n维向量??为实数?则(1)[x?y]?[y?x]?(2)[?x?y]??[x?y]?(3)[x?y?z]?[x?z]?[y?z]?(4)当x?0时?[x?x]?0?当x?0时?[x?x]?0?(5)[x?y]2?[x?x][y?y]?——施瓦茨不等式?下页第3页，共21页，星期日，2025年，2月5日向量的长度令||x||称为n维向量x的长度(或范数)?向量的长度的性质设x?y为n维向量??为实数?则(1)非负性?当x?0时?||x||?0?当x?0时?||x||?0?(2)齐次性?||?x||??||x||?(3)三角不等式?||x?y||?||x||?||y||?下页第4页，共21页，星期日，2025年，2月5日三角不等式||x?y||?||x||?||y||的证明?因为?||x||2?2||x||?||y||?||y||2即||x?y||?||x||?||y||??(||x||?||y||)2?由施瓦茨不等式?有||x?y||2?[x?y?x?y]?[x?x]?2[x?y]?[y?y]?返回第5页，共21页，星期日，2025年，2月5日解向量间的夹角称为n维向量x与y的夹角?当x?0?y?0时?第6页，共21页，星期日，2025年，2月5日向量间的夹角称为n维向量x与y的夹角?当x?0?y?0时?当[x?y]?0时?称向量x与y正交?显然?若x?0?则x与任何向量都正交?下页若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．第7页，共21页，星期日，2025年，2月5日向量间的夹角称为n维向量x与y的夹角?当x?0?y?0时?当[x?y]?0时?称向量x与y正交?显然?若x?0?则x与任何向量都正交?定理1若n维向量a1?a2?????ar是一组两两正交的非零向量?则a1?a2?????ar线性无关?下页第8页，共21页，星期日，2025年，2月5日定理1若n维向量a1?a2?????ar是一组两两正交的非零向量?则a1?a2?????ar线性无关?设有?1??2??????r?使?1a1??2a2??????rar?0?以a1T左乘上式两端?得?1a1Ta1?0?因a1?0?故a1Ta1?||a1||2?0?从而必有?1?0?类似可证?2??3??????r?0?因此?向量组a1?a2?????ar线性无关?证明返回第9页，共21页，星期日，2025年，2月5日例1已知3维向量空间R3中两个向量a1?(1?1?1)T?a2?(1??2?1)T正交?试求一个非零向量a3使a1?a2?a3两两正交?解设a3?(x1?x2?x3)T?则a3应满足a