数值分析课件插值法.pptVIP

*重节点Newton插值在节点x0处的n次Hermite插值多项式在Newton插值公式中，令xi?x0,i=1,…,n,则Taylor插值多项式余项启示：将同时具有函数值和导数值条件的节点视为重节点处理第60页，共93页，星期日，2025年，2月5日*重节点Newton插值举例第61页，共93页，星期日，2025年，2月5日*重节点Newton插值举例第62页，共93页，星期日，2025年，2月5日*第二章

插值法——分段低次插值第63页，共93页，星期日，2025年，2月5日*多项式插值的缺陷n??时Ln(x)不一定收敛于f(x)例：Runge现象在插值方法中，为了提高插值多项式的逼近程度，常常提高多项式的次数，当插值节点增多，插值多项式的次数逐步提高时，是否逼近程度也越来越好呢？一般总认为Ln(x)的次数n越高，逼近f(x)的程度越好，实际上并非如此。高次多项式插值的病态性质：从计算的含入误差看，高次插值可能会产生严重的误差积累，即稳定性得不到保证。第64页，共93页，星期日，2025年，2月5日*Runge现象Runge函数第65页，共93页，星期日，2025年，2月5日*Runge现象-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次数的Lagrange插值多项式的比较图第66页，共93页，星期日，2025年，2月5日*插值误差举例例：已知函数y=lnx的函数值如下x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试估计线性插值和抛物线插值计算ln0.54的误差解：线性插值x0=0.5,x1=0.6,??(0.5,0.6)第28页，共93页，星期日，2025年，2月5日*插值误差举例抛物线插值：x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,??(0.4,0.6)高次插值通常优于低次插值但绝对不是次

数越高就越好，嘿嘿…第29页，共93页，星期日，2025年，2月5日*Lagrange插值优点和缺点优点公式简洁,理论分析方便容易编程上机缺点基函数计算复杂，计算量大，计算量为每增加一个节点，插值多项式的所有系数都得重算；第30页，共93页，星期日，2025年，2月5日*第二章

插值法——Newton插值法第31页，共93页，星期日，2025年，2月5日*Newton插值为什么Newton插值Lagrange插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函数lk(x)都需重新计算，不太方便。设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即pn(x)=pn-1(x)+un(x)其中pn(x)和pn-1(x)分别为n次和n-1次插值多项式解决办法第32页，共93页，星期日，2025年，2月5日*新的基函数设插值节点为x0,…,xn，考虑插值基函数组当增加一个节点xn+1时，只需加上基函数第33页，共93页，星期日，2025年，2月5日*Newton插值此时f(x)的n次插值多项式为问题如何从pn-1(x)得到pn(x)?怎样确定参数a0,…,an?第34页，共93页，星期日，2025年，2月5日*Newton插值再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入差商的概念第35页，共93页，星期日，2025年，2月5日*差商什么是差商设函数f(x)，节点x0,…,xnf(x)关于点xi,xj的一阶差商f(x)关于点xi,xj,xk的二阶差商k阶差商差商的一般定义第36页，共93页，星期日，2025年，2月5日*差商的性质差商可以表示为函数值的线性组合：用归纳法可以证明差商与节点的排序无关，即差商具有对称性其中i0,i1,…,ik是0,1,…,k的任一排列第37页，共93页，星期日，2025年，2月5日*差商的性质k阶差商与k阶导数之间的关系：若f(x)在[a,b]上

具有k阶导数，