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导学案1等差数列的前n项和

一、学习目标

1.掌握等差数列前(n)项和公式及其推导方法。

2.能运用等差数列前(n)项和公式解决相关的计算问题。

3.体会等差数列前(n)项和公式与二次函数的关系，会利用其性质解决一些简单的最值问题。

二、知识梳理

1.等差数列前(n)项和公式

设等差数列({a_{n}})的首项为(a_{1})，公差为(d)，其前(n)项和(S_{n}=na_{1}+frac{n(n1)}{2}d)。

推导过程：(S_{n}=a_{1}+a_{2}+cdots+a_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+cdots+[a_{1}+(n1)d])①，

(S_{n}=a_{n}+a_{n1}+cdots+a_{1}=[a_{1}+(n1)d]+[a_{1}+(n2)d]+cdots+a_{1})②，

①+②得(2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}))，所以(S_{n}=frac{n(a_{1}+a_{n})}{2})，又(a_{n}=a_{1}+(n1)d)，代入可得(S_{n}=na_{1}+frac{n(n1)}{2}d)。

当已知(a_{1})，(a_{n})和(n)时，用公式(S_{n}=frac{n(a_{1}+a_{n})}{2})；当已知(a_{1})，(d)和(n)时，用公式(S_{n}=na_{1}+frac{n(n1)}{2}d)。

2.等差数列前(n)项和公式与二次函数的关系

(S_{n}=na_{1}+frac{n(n1)}{2}d=frac{d}{2}n^{2}+(a_{1}frac{d}{2})n)，当(dneq0)时，(S_{n})是关于(n)的二次函数，且常数项为(0)。

三、基础练习

1.已知等差数列({a_{n}})中，(a_{1}=2)，(d=3)，则(S_{10})等于（）

A.(155)B.(160)C.(165)D.(170)

答案：A

分析：根据(S_{n}=na_{1}+frac{n(n1)}{2}d)，(n=10)，(a_{1}=2)，(d=3)，则(S_{10}=10times2+frac{10times9}{2}times3=20+135=155)。

2.等差数列({a_{n}})中，(a_{1}=1)，(a_{10}=19)，则(S_{10})等于（）

A.(20)B.(100)C.(110)D.(120)

答案：B

分析：由(S_{n}=frac{n(a_{1}+a_{n})}{2})，(n=10)，(a_{1}=1)，(a_{10}=19)，可得(S_{10}=frac{10times(1+19)}{2}=100)。

3.等差数列({a_{n}})中，(S_{5}=25)，则(a_{3})等于（）

A.(5)B.(10)C.(15)D.(20)

答案：A

分析：因为(S_{5}=frac{5(a_{1}+a_{5})}{2})，又在等差数列中(a_{1}+a_{5}=2a_{3})，所以(S_{5}=frac{5times2a_{3}}{2}=5a_{3}=25)，则(a_{3}=5)。

4.等差数列({a_{n}})中，(a_{1}+a_{2}+a_{3}=24)，(a_{18}+a_{19}+a_{20}=78)，则(S_{20})等于（）

A.(160)B.(180)C.(200)D.(220)

答案：B

分析：((a_{1}+a_{2}+a_{3})+(a_{18}+a_{19}+a_{20})=(a_{1}+a_{20})+(a_{2}+a_{19})+(a_{3}+a_{18})=3(a_{1}+a_{20}))，已知(a_{1}+a_{2}+a_{3}=24)，(a_{18}+a_{19}+a_{20}=78)，所以(3(a_{1}+a_{20})=24+78=54)，则(a_{1}+a_{20}=18)，(S_{20}=frac{20(a_{1}+a_{20})}{2}=180)。

5.已知等差数列({a_{n}})的前(n)项和为(S_{n})，若(S_{3}=9)，(S_{6}=36)，则(a_{7}+a_{8}+a_{9})等于（）

A.(63)B.(45)C.(36)D.(27)

答案：B

分析：由等差数列的性质可知(S_{3})，(S_{6}S_{3})，(S_{9}S_{6})成等差数列，(S_{3}=9)，(S_{6}S_{3}=36