数值分析第三章线性方程组的迭代法.pptVIP

⑵将系数矩阵分解则高斯-塞德尔迭代矩阵故高斯—塞德尔迭代收敛。第30页，共44页，星期日，2025年，2月5日定义3.2设矩阵每一行对角元素的绝对值都大于同行其他元素绝对值之和则称A为弱对角占优矩阵。若上式中不等号均严格成立，则称A为严格对角占优矩阵。定理8设n阶方阵为严格对角占优阵,则A非奇异。第31页，共44页，星期日，2025年，2月5日第1页，共44页，星期日，2025年，2月5日§3.1迭代法的基本思想迭代法的基本思想是将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始值，按某种计算规则，不断地对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程组的近似解。第2页，共44页，星期日，2025年，2月5日设非奇异，，则线性方程组有惟一解，经过变换构造出一个等价同解方程组将上式改写成迭代式选定初始向量,反复不断地使用迭代式逐步逼近方程组的精确解,直到满足精度要求为止。这种方法称为迭代法第3页，共44页，星期日，2025年，2月5日如果存在极限则称迭代法是收敛的，否则就是发散的。收敛时，在迭代公式中当时，,则,故是方程组的解。对于给定的方程组可以构造各种迭代公式。并非全部收敛第4页，共44页，星期日，2025年，2月5日例1用迭代法求解线性方程组解构造方程组的等价方程组据此建立迭代公式取计算得迭代解离精确解越来越远迭代不收敛第5页，共44页，星期日，2025年，2月5日§3.2雅可比（Jacobi）迭代法§3.2.1雅可比迭代法算法构造例2用雅可比迭代法求解方程组解：从方程组的三个方程中分离出和建立迭代公式精确解x*=(3,2,1)T第6页，共44页，星期日，2025年，2月5日取初始向量进行迭代,可以逐步得出一个近似解的序列：（k=1,2,…）直到求得的近似解能达到预先要求的精度，则迭代过程终止，以最后得到的近似解作为线性方程组的解。当迭代到第10次有计算结果表明，此迭代过程收敛于方程组的精确解x*=(3,2,1)T。第7页，共44页，星期日，2025年，2月5日考察一般的方程组，将n元线性方程组写成若,分离出变量据此建立迭代公式上式称为解方程组的Jacobi迭代公式。第8页，共44页，星期日，2025年，2月5日§3.2.2雅可比迭代法的矩阵表示设方程组的系数矩阵A非奇异，且主对角元素，则可将A分裂成记作A=D+L+U第9页，共44页，星期日，2025年，2月5日则等价于即因为，则这样便得到一个迭代公式令则有（k=0,1,2…）称为雅可比迭代公式,B称为雅可比迭代矩阵第10页，共44页，星期日，2025年，2月5日雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量形式。即(k=0,1,2,…)第11页，共44页，星期日，2025年，2月5日3.2.1雅可比迭代法的算法实现第12页，共44页，星期日，2025年，2月5日§3.3高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法§3.3.1高斯-塞德尔迭代法的基本思想在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的迭代值，若每次迭代充分利用当前必威体育精装版的迭代值，即在求时用新分量代替旧分量,