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中学数学模型题解析及练习

数学，作为一门研究数量关系和空间形式的科学，其魅力不仅在于逻辑的严谨与抽象的美感，更在于它强大的应用能力。在中学阶段，数学模型题便是连接数学理论与现实问题的桥梁，是培养学生解决实际问题能力、提升数学核心素养的重要载体。本文旨在深入浅出地解析中学数学模型题的特点、常见类型，并辅以实例与练习，希望能为同学们提供有益的指导。

一、数学模型与数学模型题概览

所谓数学模型，是指根据特定的研究目的，运用数学符号、公式、图表等语言，对现实世界中的某一特定现象或问题进行抽象、简化后所得的数学结构。它是对现实问题本质属性的数学描述，能够帮助我们更清晰地理解问题、分析问题并找到解决方案。

而数学模型题，则是将这些源于现实的数学模型，经过命题者的精心设计和简化，融入到具体的数学问题情境中。这类题目往往要求学生能够从题目描述中提取关键信息，识别出背后隐藏的数学模型，并用相应的数学方法求解。

理解数学模型题的核心在于：“源于现实，高于现实，用于现实”。它要求我们不仅要掌握扎实的数学知识，更要具备将文字信息转化为数学符号、将实际问题抽象为数学问题的能力。

二、中学阶段常见数学模型类型及解析

中学数学中涉及的模型种类繁多，我们选取几类最为典型且应用广泛的模型进行剖析。

（一）方程（组）模型

方程（组）模型是中学阶段最基础也最重要的数学模型之一。其核心思想是“未知量参与运算”，通过分析问题中的等量关系，设出未知数，列出含有未知数的等式（方程或方程组），进而求解。

常见应用场景：行程问题、工程问题、利润问题、增长率问题、浓度问题、几何图形的边长与面积计算等。

例题解析：

题目：某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。

（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，问最多能购进多少件A商品？

分析与建模：

（1）此问明显涉及两个未知量（A、B商品的进价）和两个等量关系，适合用二元一次方程组模型求解。

设A商品每件进价为x元，B商品每件进价为y元。

根据题意，可列出方程组：

\[

\begin{cases}

3x+2y=120\\

5x+4y=220

\end{cases}

\]

解此方程组即可得到A、B商品的进价。

（2）此问涉及不等关系（“不超过”、“不少于”），适合用不等式（组）模型求解。

设购进A商品m件，购进B商品n件。

根据题意，可列出不等式组：

\[

\begin{cases}

\text{（A商品进价）}m+\text{（B商品进价）}n\leq1000\\

m\geq2n\\

m,n\text{为正整数}

\end{cases}

\]

（注：此处需用（1）问求出的A、B进价代入）

若想表达为只含一个未知数的形式，可由m≥2n得出n≤m/2，代入第一个不等式，从而求出m的最大值。

求解过程：

（1）解方程组：

由第一个方程得：\(2y=120-3x\)，即\(y=60-1.5x\)

将其代入第二个方程：\(5x+4(60-1.5x)=220\)

化简：\(5x+240-6x=220\)

解得：\(x=20\)

则\(y=60-1.5\times20=30\)

答：A商品每件进价20元，B商品每件进价30元。

（2）设购进A商品m件，B商品n件。

则有：\(20m+30n\leq1000\)且\(m\geq2n\)。

由\(m\geq2n\)得\(n\leq\frac{m}{2}\)。

将\(n\leq\frac{m}{2}\)代入不等式\(20m+30n\leq1000\)：

\(20m+30\times\frac{m}{2}\leq1000\)

\(20m+15m\leq1000\)

\(35m\leq1000\)

\(m\leq\frac{1000}{35}\approx28.57\)

因为m为正整数，所以m最大取28。

此时，n≤14，代入20*28+30*14=560+420=980≤1000，符合题意。

答：最多能购进28件A商品。

反思：方程（组）模型的关键在于准确找到等量关系，而不等式（组）模型则在于准确找到不等关系。解题时，设元要合理，单位要统一，解出结果后要检验其是否符合实际意义。

（二）函数模型

函数模型用于描述两个或多个变量之间的依存关系。在中学阶段，一次函数