线性系统的根轨迹法.pptVIP

第1页，共40页，星期日，2025年，2月5日4-1根轨迹法的基本概念第2页，共40页，星期日，2025年，2月5日一、根轨迹的概念根轨迹是开环系统的某一参数从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根在S平面上变化的轨迹。第3页，共40页，星期日，2025年，2月5日举例：-令K*（由0到∞）变动，s1、s2在s平面的移动轨迹即为根轨迹。第4页，共40页，星期日，2025年，2月5日第5页，共40页，星期日，2025年，2月5日因此利用根轨迹，可以分析系统稳定性、稳态性能和动态性能。（1）稳定性：根轨迹都在S左半平面，闭环系统稳定。（2）稳态性能：（3）动态性能：0K*1，两个不等负实根，过阻尼系统；K*＝1，两个相等负实根，临界阻尼系统；K*1，一对共轭复根，欠阻尼系统；特征方程的根运动模态系统动态响应（稳定性、系统性能）第6页，共40页，星期日，2025年，2月5日二、根轨迹方程相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足称为180o根轨迹。相角条件：模值条件：第7页，共40页，星期日，2025年，2月5日4-2绘制根轨迹的基本法则第8页，共40页，星期日，2025年，2月5日一、基本法则1、根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。 起点：终点：第9页，共40页，星期日，2025年，2月5日2、根轨迹的分支数及对称性和连续性（1）根轨迹分支数＝特征根个数。（2）由于闭环特征根是实根或共轭复根，故根轨迹对称于实轴。（3）由于K*连续变化，故根轨迹具有连续性。第10页，共40页，星期日，2025年，2月5日3、根轨迹的渐近线：n-m条根轨迹沿着渐近线趋向无穷远处，渐近线与实轴交点和夹角为：第11页，共40页，星期日，2025年，2月5日4、实轴上的根轨迹实轴上某一区域其右方开环实数的零点数和极点数的总和为奇数，该区域为根轨迹。第12页，共40页，星期日，2025年，2月5日5、根轨迹的会合点和分离点：若干根轨迹在复平面上相遇后又分开的点称为分离点或会合点。分离点坐标d的求解：证明：第13页，共40页，星期日，2025年，2月5日第14页，共40页，星期日，2025年，2月5日若无开环零点，则：第15页，共40页，星期日，2025年，2月5日注意：一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。第16页，共40页，星期日，2025年，2月5日例题：单位反馈系统的开环传递函数为：试绘制闭环系统的根轨迹2、实轴上根轨迹为[-3,-2]，[-1，0]3、求渐近线：渐近线与实轴交点为：渐近线与实轴夹角为：解：1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3，根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。第17页，共40页，星期日，2025年，2月5日4、求分离点：第18页，共40页，星期日，2025年，2月5日6、根轨迹的起始角和终止角：根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处切线与正实轴的夹角：在离开p1附近的根轨迹上取一点s1,则s1点应满足相角条件：当时，即为离开根轨迹上的起始角，，则：第19页，共40页，星期日，2025年，2月5日根轨迹的终止角是根轨迹进入开环复数零点处切线与正实轴的夹角：第20页，共40页，星期日，2025年，2月5日例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹，并求系统有超调响应时K*的取值范围。2、渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-?，-2]。解：1、一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。3、初始角：第21页，共40页，星期日，2025年，2月5日4、求分离点：说明：由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为2。第22页，共40页，星期日，2025年，2月5日分离点处，系统有超调响应时的K*取值范围。第23页，共40页，星期日，2025年，2月5日7、根轨迹和虚轴的交点：（1）利用劳思判据（2）将s=jω代入D(S