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黑龙江科技学院数学建模理学院第30页，共61页，星期日，2025年，2月5日6.3迭代法黑龙江科技学院数学建模理学院第31页，共61页，星期日，2025年，2月5日将方程等价变形为，若要求满足的根，等价的是求使得，称与同解；反之亦然。这时的称为是函数的一个不动点。求方程的根等价于求的不动点。不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为 (6.3.1)其中函数称为迭代函数.如果对任意由式（6.3.1）产生的序列有极限则称不动点迭代法（6.3.1）收敛.黑龙江科技学院数学建模1、简单迭代法第32页，共61页，星期日，2025年，2月5日xyo是否对于任意的等价形式该迭代法都是收敛的？什么情况下收敛？黑龙江科技学院数学建模理学院第33页，共61页，星期日，2025年，2月5日xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0x1p1?x0p0x1p1?x0p0x1p1?x0p0x1p1?黑龙江科技学院数学建模理学院第34页，共61页，星期日，2025年，2月5日定理6.3.1(不动点存在性定理)设满足以下两个条件:（1）对任意，有（2）存在正常数使对任意都有则在上存在惟一的不动点定理6.3.2（不动点迭代法的全局收敛性定理）设满足定理6.3.1中的两个条件,则对任意得到的迭代序列由(6.3.1)式收敛到的不动点，并有误差估计式和黑龙江科技学院数学建模理学院第35页，共61页，星期日，2025年，2月5日定理6.3.3（不动点迭代法的局部收敛性定理）设为的不动点,在的某个邻域连续，且，则迭代法(6.3.1)局部收敛.黑龙江科技学院数学建模第36页，共61页，星期日，2025年，2月5日例6.3.2求方程要求结果精确到10-5。在[0,0.5]内的根，解将方程变形,因为在[0,0.5]内为增函数，所以满足收敛条件，取x0=0.25，用迭代公式计算步骤如下x1=?(0.25)=0.3385416x2=?(x1)=0.3462668x3=?(x2)=0.3471725x4=?(x3)=0.3472814x5=?(x4)=0.3472945x6=?(x5)=0.3472961x7=?(x6)=0.3472963取方程的近似根为x*=0.347296。黑龙江科技学院数学建模第37页，共61页，星期日，2025年，2月5日2、牛顿迭代法基本思想：牛顿法是将非线性方程线性化的一种近似方法。它是将在初始点附近展开成泰勒级数，取其线性部分(即前两项)，作为非线性方程的近似方程，则有：。牛顿迭代公式：黑龙江科技学院数学建模理学院第38页，共61页，星期日，2025年，2月5日牛顿迭代公式的几何意义xyox0x1x2用曲线上某一点处的切线与x轴的交点来逐步趋近于曲线与x轴的交点，进而近似地求出的根,因此又称切线法.
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