华东师大版九年级上册第24章 解直角三角形 专题训练六 求锐角三角函数值的方法 （含答案）.docxVIP

专题训练六求锐角三角函数值的方法

定义法

1.(2025扬州期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则sinA的值为 ()

A.12 B.55 C.2

2.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cosα的值是 ()

A.35 B.45 C.34

3.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,求sinC、cosC、tanC的值.

4.如图,根据提供的数据回答下列问题:

图1图2

(1)在图1中,sinA=,cosA=,sin2A+cos2A=;在图2中,sinA1=,cosA1=,sin2A1+cos2A1=.?

通过以上两个特殊的例子,你发现了什么规律?用一个一般的式子把你发现的规律表示出来,并加以证明.

(2)在图1中,tanA=,sinAcosA=;在图2中,tanA1=,sin

通过以上两个特殊的例子,你发现了什么规律?用一个一般的式子把你发现的规律表示出来,并加以证明.

设参数

5.(2024资阳中考)第14届国际数学教育大会会标如图1所示,会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE、△BCF、△CDG、△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF∶AH=1∶3,则sin∠ABE= ()

图1图2

A.55 B.35 C.45

6.在Rt△ABC中,AC=2BC.

(1)求cosA的值.

(2)当AB=10时,求BC的长.

等量转化法

7.如图,有两个全等的正方形ABCD和BEFC,则tan(∠BAF+∠AFB)=.?

8.(2025石家庄桥西区月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=8,BC=6,求sin∠BCD与cos∠BCD的值.

9.(跨学科)如图,CD是平面镜,光线从点A出发经CD上的点E反射后照射到点B,若入射角为α,AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C、D,且AC=3,BD=6,CD=11,求tanα的值.

构造直角三角形

10.(2025邵阳期中)∠BAC放在正方形网格纸的位置如图,则tan∠BAC的值为 ()

A.16 B.15 C.13

11.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(3,3)和点B(7,0),则sin∠ABO的值等于.?

12.如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=18

(1)求BC的长.

(2)利用此图形求tan15°的值(结果精确到0.1,参考数据:2≈1.4,3≈1.7,5≈2.2).

【详解答案】

1.C解析:∵Rt△ABC中,∠C=90°,

AC=1,BC=2,∴AB=5,

∴sinA=BCAB=2

2.B解析:由点A的坐标为(4,3),得OA=42+32=5,∴cosα=

3.解:∵Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,∴BC=32

则sinC=ABBC=35,cosC=ACBC

4.解:(1)453511213

规律:对于任意锐角α,

有sin2α+cos2α=1.

证明:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.

∵sinα=ac,cosα=bc,c2=a2+b

∴sin2α+cos2α=a2

(2)434312

规律:对于任意锐角α,有tanα=sinα

证明:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.∵tanα=ab,sin

∴tanα=sinα

5.C解析:根据题意,设EF=x,则AH=3x,∵△ABE≌△DAH,四边形EFGH为正方形,∴AH=BE=3x,EF=HE=x,∴AE=4x,∵∠AEB=90°,∴AB=AE2+

∴sin∠ABE=AEAB=4

6.解:(1)在Rt△ABC中,AC=2BC,

设BC=x,则AC=2x,当AC是斜边时,AB=AC2

则cosA=ABAC=3x2x=32;

则cosA=ACAB

综上,cosA的值为32或2

(2)在Rt△ABC中,AC=2BC,

设BC=x,则AC=2x,

当AC是直角边时,(2x)2+x2=100,解得x=25(负值舍去).

当AC是斜边时,(2x)2=x2+100,解得x=1033(

综上,BC的长为1033或2

7.1解析:根据三角形外角的性质,得∠BAF+∠AFB=∠FBE.∵四边形BEFC是正方形,∴BE=EF.

∴tan(∠BAF+∠AFB)=tan∠FBE=EFBE

8.解:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,

∴∠BDC=∠ACB=90°,

∴∠B+∠BCD=90°,∠B+∠A=90°,

∴∠BCD=∠A