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2025/8/211常用函数的幂级数展开式
2025/8/212第五节函数的幂级数展开式的应用第十二章一、近似计算三、欧拉公式二、微分方程的幂级数解法
一、近似计算2025/8/213例1计算的近似值,使精确到解:已知故令得于是有
在上述展开式中取前四项,2025/8/214
例2计算定积分2025/8/215(取的近似值,精确到解:
则n应满足则所求积分近似值为欲使截断误差
二、微分方程的幂级数解法2025/8/217当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时?我们就要寻求其它解法?本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法?
其中函数f(x?y)是(x?x0)、(y?y0)的多项式?f(x?y)?a00?a10(x?x0)?a01(y?y0)?????aim(x?x0)l(y?y0)m?这时可设所求特解可展开为x?x0的幂级数?y?y0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2?????an(x?x0)n?????其中a1?a2?????an????是待定的系数?把所设特解代入微分方程中?便得一恒等式?比较这恒等式两端x?x0的同次幂的系数?就可定出常数a1?a2?????从而得到所求的特解?幂级数解法基本思想
解例1求方程y??x?y2满足y|x?0?0的特解?这时x0?0?y0?0?故设把y及y?的幂级数展开式代入原方程?得y?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?????01于是所求解的幂级数展开式的开始几项为?x?(a1x?a2x2?a3x3?a4x4????)2?x?a12x2?2a1a2x3?(a22?2a1a3)x4?????由此?比较恒等式两端x的同次幂的系数?得a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?5a5x4????02
的解?如果方程y???P(x)y??Q(x)y?0中的系数P(x)与Q(x)可在?RxR内展开为x的幂级数?那么在?RxR内此方程必有形如定理
提示:例2求方程y???xy?0的满足y|x?0?0?y?|x?0?1的特解?解这里P(x)?0?Q(x)??x在整个数轴上满足定理的条件?因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数y??a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?????nanxn?1?????y?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?????y???2a2x?3?2a3x?4?3a4x2?????n(n?1)anxn?2?????把y及y??代入方程y???xy?0?得2a2?3?2a3x?(4?3a4?1)x2?(5?4a5?a2)x3??(6?5a6?a3)x4?????[(n?2)(n?1)an?2?an?1]xn+...=0.由y?|x?0?1?得由条件y|x?0?0?得a0?0?a1?1?于是a2?0?a3?0?a5?0?a6?0?a8?0?a9?0?
二、欧拉公式2025/8/2112(Eulerformula)则称①收敛,且其和为绝对收敛收敛.若收敛,若对复数项级数①绝对收敛则称①绝对收敛.由于,故知
定义复变量2025/8/2113的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛.当y=0时,它与实指数函数当x=0时,的幂级数展式一致.
（欧拉公式）2025/8/2114（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式则
利用幂级数的乘法,不难验证2025/8/2115据此可得(德莫弗公式)特别有
2025/8/21欧拉(1707–1783)瑞士数学家.他写了大量数学经典著作,如《无穷小分析引论》,《微还写了大量力学,几何学,变分法教材.他在工作期间几乎每年都完成800页创造性的论文.他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和发展奠定了基础.分学原理》,《积分学原理》等,为分析学的重在数学的许多分支中都有以他的名字命名的重要常数,公式和定理.
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