消费者最优化原理分析.pptVIP

四、效用与支出的对偶从表面上看，效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化问题，支出最小化的希克斯需求也没有考虑效用最大化问题。其实并非如此，效用最大化与支出最小化是相互对偶的问题。对偶定理设消费集合X是的下有界非空凸闭子集，?是无满足的连续凸偏好。对任何(p,r)???和(p,x)??，都有：(?z?D(p,r))(z?H(p,z))，即效用最大时支出也最小；(?z?H(p,x))(z?D(p,e(p,x)))，即支出最小时效用也最大；如果?还严格凸,则?(p,r)=h(p,?(p,r))且h(p,x)=?(p,e(p,x))。对偶定理说明，马歇尔需求与希克斯需求一致。既然如此，消费最优化问题就既可以从效用最大化出发，也可以从支出最小化出发来解决。鉴于这个原因，今后我们直接从效用最大化出发来研究消费者需求。凡提到需求，如无特殊说明，均指马歇尔需求。z第30页，共48页，星期日，2025年，2月5日§3消费者均衡消费者均衡是指消费者的效用最大化状态。因此，也可以把马歇尔需求向量x*?D(p,r)叫做消费者的均衡向量。问题是：怎样才能实现均衡？使用效用函数，可以对这个问题作出回答。为此，我们将根据具体情况，要使用如下一些假设中的一个或几个：(X,?)是理性消费者，即X满足假设HC，?连续、凸、无满足；?的效用函数u:X?R满足假设HU；消费者均衡x*在消费集合内部实现，即x*?D(p,r)?X?。假定价格体系为p0，消费者收入为r。利用效用函数u(x)，效用最大化问题可表述为：maxu(x)s.t.px?r。在需求服从瓦尔拉定律的情况下，不等式约束“px?r”可用等式约束“px=r”替代，从而效用最大化问题变得更加明确：第31页，共48页，星期日，2025年，2月5日在需求服从瓦尔拉定律的情况下，效用最大化问题可用拉格朗日乘数法求解。首先，构造拉格朗日函数L(x,?)=u(x)+?(r–px)；然后，设x*?X?是效用最大化问题的解；最后，根据拉格朗日乘数法，存在实数?使得L(x,?)在(x*,?)处的各个一阶偏导数全为零：这就是说，消费者的均衡向量x*必然是方程组的解。鉴于这个原因，我们把方程组叫做效用最大化边际方程或边际等式(marginalequation)，其中实数?叫做拉格朗日乘数，简称拉氏乘数，。边际方程的重要作用在于它表达了消费者实现效用最大化的一阶条件：不但是必要条件，而且是充分条件。一、实现均衡的一阶条件第32页，共48页，星期日，2025年，2月5日证明：在定理的条件下，效用最大化只能在预算线上实现，于是根据拉格朗日乘数法可知，存在实数?使得u?(x*)=?p且px*=r。现在，我们只需证明拉氏乘数?0。注意，定理的条件保证了u?(x*)?0。而x*?D(p,r)?X?又保证了u?(x*)?0，这是因为对任何x?X，若xx*，则px?px*=r，从而u(x)?u(x*)。由此便可推知u?(x*)?0。结果u?(x*)0，故?0。定理(必要条件)设理性消费者(X,?)的效用函数u:X?R在X内部可微并且(?x?X?)(u?(x)?0)。对任何价格向量p0、收入r及消费向量x*?X?，若x*?D(p,r)(即x*是消费者的均衡)，则存在实数?0使u?(x*)=?p且px*=r，即(x*,?)满足边际方程：(一)一阶必要条件第33页，共48页，星期日，2025年，2月5日1.必要条件的序数效用意义：替代法则边际替代率：在消费方案x处，商品i对商品j的边际替代率是指当商品i的消费增加一单位时，在保持效用水平不变的情况下商品j的消费减少量。即MRSi,j=?(dxj/dxi)=ui?(x)/uj?(x)。市