函数逼近与FFT曲线拟合的最小二乘法.pptxVIP

1曲线拟合的最小二乘法

曲线拟合本节内容2曲线拟合基本概念01最小二乘算法02最小二乘拟合多项式03出一组离散点，确定一个简单函数近似原函数，多项式插值提供了一种处理手段。尤其是当结点数目较多时，误差可能累积起来，从而对最终近似效果产生较大影响（这正是高次插值产生Runge现象的一个主要原因）；然而，在实际问题中，给出的结点处的离散数据或多或少的都带有误差，插值要求多项式严格通过这些插值结点，无形之中就将这些点处的误差保留下来；此外，即便给出的结点处的离散数据较为精确，但由于插值条件的限制，也导致多项式插值仅仅在处理结点附近的函数值近似问题时较为有效，即插值的局部近似效果好，整体逼近效果差。05这些都促使我们考虑一种函数逼近的新方法——曲线拟合。

曲线拟合4能否找到一个简单易算的p(x)，使得f(x)?p(x)已知f(x)在某些点的函数值：xx0x1…xmf(x)y0y1…ym但是m通常很大yi本身是测量值，不准确，即yi?f(xi)这时不要求p(xi)=yi,而只要p(xi)?yi总体上尽可能小

曲线拟合5使最小使最小p(xi)?yi总体上尽可能小使最小常见做法太复杂?不可导，求解困难?最小二乘法：目前最好的曲线拟合算法

曲线拟合的最小二乘问题最小二乘6No.3这个问题实质上是最佳平方逼近问题的离散形式。

可以将求连续函数的最佳平方逼近函数的方法直接用于求解该问题。已知函数值表(xi,yi)，在函数空间?中求S*(x)，使得其中?i是点xi处的权。No.2No.1

最小二乘求解7对任意S(x)??=span{?0,?1,?,?n}，可设S(x)=a0?0+a1?1+···+an?n(x)则求S*(x)等价于求下面的多元函数的最小值点k=0,1,…,n最小值点

最小二乘求解8(k=0,1,…,n)这里的内积是离散带权内积，即，法方程G法方程

9要使法方程有唯一解a0,a1,…,an,就要求矩阵G非奇异.必须指出,?0(x),?1(x),…,?n(x)在[a,b]上线性无关不能推出矩阵G非奇异.例如,令?0(x)=sinx,?1(x)=sin2x,x?[0,2?],显然{?0(x),?1(x)}在[0,2?]上线性无关,但若取点xk=k?,k=0,1,2(n=1,m=2),那么有?0(xk)=?1(xk)=0,k=0,1,2,由此得出G==0(?0,?0)(?0,?1)(?1,?0)(?1,?1)为保证系数矩阵G非奇异，必须加上另外的条件.定义设?0(x),?1(x),…?n(x)?C[a,b]的任意线性组合在点集{xi,i=0,l,...,m}(m?n)上至多只有n个不同的零点,则称?0(x),?1(x),…,?n(x)在点集{xi,i=0,l,...,m}上满足哈尔(Haar)条件.可以证明,如果?0(x),?1(x),…?n(x)?C[a,b]在{xi}0m上满足哈尔(Haar)条件,则法方程的系数矩阵G非奇异.

最小二乘求解10S*(x)是f(x)在?中的最小二乘解S*(x)=a0*?0+a1*?1+···+an*?n(x)设法方程的解为：a0*,a1*,?,an*,则结论

举例11最小二乘问题中，如何选择数学模型很重要，即如何选取函数空间?=span{?0,?1,?,?n}，通常需要根据物理意义，或所给数据的分布情况来选取合适的数学模型。

多项式最小二乘曲线拟合多项式拟合12?＝Hn=span{1,x,...,xn},即?i=xi,则相应的法方程为01此时为f(x)的n次最小二乘拟合多项式02

例713已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.解将所给数据在坐标纸上标出，见图3-5.图3-5选线性函数作拟合曲线令这里故

解得法方程所求拟合曲线为多项式拟合的Matlab现程序其中输入参数为要拟合的数据，