专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（举一反三讲义）（全国通用）（原卷版）.docxVIP

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专题3.1导数的概念及其意义、导数的运算（举一反三讲义）

【全国通用】

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【题型1导数的定义及其应用】 2

【题型2（复合）函数的运算】 3

【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】 4

【题型4求曲线的切线方程】 4

【题型5与切线有关的参数问题】 5

【题型6切线的条数问题】 5

【题型7两条切线平行、垂直、公切线问题】 6

【题型8与切线有关的最值问题】 6

1、导数的概念及其意义、导数的运算

考点要求

真题统计

考情分析

(1)了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数

(2)通过函数图象，理解导数的几何意义

(3)能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数

2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分

2024年新课标I卷：第13题，5分

2024年全国甲卷（文数）：第7题，5分

2024年全国甲卷（理数）：第6题，5分

2025年全国一卷：第12题，5分

导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的运算、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.

知识点1导数的运算的方法技巧

1．导数的运算的方法技巧

(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

知识点2复合函数的导数

1．复合函数的定义

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).

2．复合函数的求导法则

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

3．求复合函数导数的步骤

第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；

第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；

第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；

第四步：变量回代：把中间变量代回.

知识点3切线问题及其解题策略

1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；

(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f(x0)(x-x0).

2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；

(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f(x0)(x-x0)；

(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.

3．与切线有关的参数问题的解题策略：

(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：

①切点处的导数是切线的斜率；

②切点在切线上，故满足切线方程；

③切点在曲线上，故满足曲线方程.

(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.

4．公切线问题的解题思路

求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.

【题型1导数的定义及其应用】

【例1】（24-25高二下·河南·期末）已知函数fx=x2?2x?3，则fx从1到

A．Δx+3 B．2Δx?1 C．Δ

【变式1-1】（24-25高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是yt=t2+4t

A．2m/s B．6m/s

【变式1-2】（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知函数fx在x=x0处可导，若limΔx→0

A．4 B．6 C．?6 D．?4

【变式1-3】（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（???

??

A．在0到t0

B．在0到t0

C．在t=t

D．在t=t

【题型2（复合）函数的运算】

【例2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数fx和它的导函数f′x的定义域均为R，且fx+2+f?x=2，f

A．1 B．2 C．2025 D．2026

【变式2-1】（2025·陕西安康·三模）已知函数fx