专题3.2 导数与函数的单调性（举一反三讲义）（全国通用）（原卷版）.docxVIP

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专题3.2导数与函数的单调性（举一反三讲义）

【全国通用】

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【题型1利用导数求函数的单调区间（不含参）】 2

【题型2判断不含参函数的单调性】 3

【题型3含参函数讨论单调性】 3

【题型4根据函数的单调性求参数】 4

【题型5函数与导函数图象之间的关系】 5

【题型6函数单调性的应用——比较大小】 6

【题型7函数单调性的应用——解不等式】 7

【题型8导数关系构造函数解不等式】 7

1、导数与函数的单调性

考点要求

真题统计

考情分析

(1)结合实例，借助几何直

观了解函数的单调性与导数的关系

(2)能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)

(3)会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用

2023年新课标Ⅱ卷：第6题，5分

2024年新课标I卷：第10题，6分

2024年北京卷：第20题，15分

2025年全国二卷：第18题，17分

导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容在高考中常涉及的问题有：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间、利用函数的单调性判断大小、解不等式、求参数范围等；此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中时往往在第一小问中呈现，此时试题整体难度较大，复习要加强训练.

知识点1导数中函数单调性问题的解题策略

1．确定函数单调区间的步骤；

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求f(x)；

(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.

2．含参函数的单调性的解题策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

3．根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.

(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f(x)≥0(f(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

知识点2导数中函数单调性的应用

1．比较大小：

利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.

2．解不等式：

与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.

【解题方法与技巧】

导数关系构造函数的一些常见结构：

(1)对于不等式f(x)+g(x)0，构造函数F(x)=f(x)+g(x).

(2)对于不等式f(x)-g(x)0，构造函数F(x)=f(x)-g(x).

特别地，对于不等式f(x)k，构造函数F(x)=f(x)-kx.

(3)对于不等式f(x)g(x)+f(x)g(x)0，构造函数F(x)=f(x)·g(x).

(4)对于不等式f(x)g(x)-f(x)g(x)0，构造函数F(x)=.

(5)对于不等式xf(x)+nf(x)0，构造函数F(x)=.

(6)对于不等式f(x)+f(x)0，构造函数F(x)=.

(7)对于不等式f(x)+kf(x)0，构造函数F(x)=.

【题型1利用导数求函数的单调区间（不含参）】

【例1】（2025·全国·模拟预测）函数y=lnx+1x的单调增区间为（????

A．?∞,1 B．0,1 C．1,e

【变式1-1】（2025·四川成都·模拟预测）函数y=12x

A．?1,1 B．?1,1 C．1,+∞ D．

【变式1-2】（2025·浙江·模拟预测）函数fx=ln

A．0,1 B．1

C．1?22,

【变式1-3】（2025·四川成都·三模）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fx=x1?lnx，则当

A．?∞,?e

C．?∞,0

【题型2判断不含参函数的单调性】

【例2】（2025·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（????）

A．fx=ln

C．fx=ln