专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（举一反三讲义）（全国通用）（原卷版）.docxVIP

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专题4.1任意角和弧度制、三角函数的概念（举一反三讲义）

【全国通用】

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【题型1终边相同的角】 4

【题型2象限角及其判定】 4

【题型3弧度制】 4

【题型4扇形的弧长与面积的计算】 5

【题型5扇形中的最值问题】 6

【题型6任意角的三角函数的定义及应用】 7

【题型7三角函数值符号的判定】 8

1、任意角和弧度制、三角函数的概念

考点要求

真题统计

考情分析

(1)了解任意角的概念和弧度制

(2)能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性

(3)借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义

2023年北京卷：第13题，5分

2024年北京卷：第12题，5分

2025年北京卷：第13题，5分

任意角和弧度制、三角函数的概念是三角函数的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察任意角的概念、三角函数的概念，一般以选择题、填空题的形式考查，试题比较简单.

知识点1三角函数的基本概念

1．任意角

(1)角的概念

角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

(2)角的表示

如图：

①始边：射线的起始位置OA；

②终边：射线的终止位置OB；

③顶点：射线的端点O；

④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.

2．象限角与终边相同的角

(1)终边相同的角

若角α,β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β.

一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合

，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

(2)象限角、轴线角

①象限角、轴线角的概念

在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.

②象限角的集合表示

象限角

角的集合表示

第一象限角

第二象限角

第三象限角

第四象限角

3．角度制、弧度制的概念

(1)角度制

角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.

(2)弧度制的相关概念

①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.

②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.

记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.

4．任意角的三角函数

(1)利用单位圆定义任意角的三角函数

设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).

①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作，即y=；

②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作，即x=；

③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作，即=(x≠0).

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数

余弦函数

正切函数

(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数

如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则=，=，=.

知识点2任意角和弧度制的解题策略

1．终边相同的角的集合

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.

2．确定，(k∈N*)的终边位置的方法

先写出或的范围，然后根据k的可能取值确定或的终边所在的位置.

3．应用弧度制解决问题的几大要点

应用弧度制解决问题时应注意：

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

知识点3三角函数的定义及应用的解题策略

1．三角函数定义的应用

(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.

(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.

2．判定三角函数值的符号的解题策略

要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.

【题型1终边相同的角】

【例1】（24-25高一下·广西钦州·期末）下列与20°角终边相同的角为（????）

A．320° B．380° C．400°

【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角α的终边在图中阴影部分内，则角α的取值