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辛消去法

AyanMahalanobis∗

Abstract

我们开发了辛消去算法。该算法使用简单的行操作将一个辛矩阵化为对角矩阵。该算法

导致任意矩阵分解为一个辛矩阵和一个简化矩阵的乘积。这种分解类似于长期研究的SR分

解，它类似于QR分解。

本

译1介绍

中

1辛矩阵非常重要且普遍存在。它们出现在许多应用中。我们开发了一些针对辛矩阵的行-列

v

3操作，以及分裂和扭曲正交群[2,3]和分裂酉群[6]。在本文中，我们将专门处理辛群。我们展

6示，仅使用行操作（稍后定义）可以将一个辛矩阵化简为对角矩阵。这些行操作的效果相当于

5

0从左侧乘以一个辛矩阵。这些辛矩阵是初等的，并且是辛横移。因此算法辛消去法将一个辛矩

2

.阵表示为一系列初等辛矩阵和一个对角矩阵的乘积。

7

0SR分解在过去几十年中被许多学者研究过，详情请参见[1,4,5]及早期工作。SR算法的动

5

2机很简单，它是QR算法的一个类比，在这里辛矩阵替换了正交矩阵。主要使用Householder变

:

v换和Givens变换进行研究。此处我们采用了一个非常不同的方法。我们利用辛消去算法得到了

i

x一个类似于SR算法的方法，并称之为ST算法。本方法描述了一种自然产生类似QR算法分解

r

a

的辛消去算法。该方法是通用的，因为分裂和扭曲正交群具有与辛群类似的生成元和行操作（参

见[2,AppendixA]）以及分裂酉群[6]。因此对于这些群来说，可以产生相似消去算法并给出类

似QR分解的分解是可能的。

2辛群基础

本文中，用于表示一个域，并且对没有任何限制。所有矩阵都在上。在本节中，我们

回顾了一些关于辛群的事实。首先，辛群由偶数维的矩阵组成，并记为Sp。这些

I

大小为的矩阵满足关系式，其中是矩阵的转置，而是矩阵。

I

这里I是大小为的单位矩阵。当没有混淆的可能性时，我将省略，并用I表示I。

∗IISERPune,Pune,INDIA.Email:ayan.mahalanobis@

1

这是一个众所周知的事实，辛矩阵在矩阵乘法下形成一个群。通常，我们将辛矩阵G

Sp表示为

GAB

CD

，其中ABCD是大小为的矩阵，并且这些矩阵是在上定义的，被称为G的块。

2.1辛群的生成元Sp

辛群的生成元，常被称为初等矩阵，是两种不同类型的辛矩阵。一种类似于对块进行常规

高斯消去（方程1）。另一种类型则有所不同，因为它仅作用于下部或上部的块集（方程2）。这

些生成元在我们早期的工作中被使用[2,3,6]；在那里，我们同时使用行和列操作将辛群化简为

单位矩阵。在这项工作中，我开发了一种利用将辛矩阵通过行操作化为对角矩阵的算法。该算

法还为我们提供了一种自然的方式来分解一个矩阵