惯性定理正定二次型.pptVIP

惯性定理正定二次型第1页，共28页，星期日，2025年，2月5日6.3惯性定理和二次型的规范形定理6.3(惯性定理)对于一个n元二次型xTAx，不论做怎样的坐标变换使之化为标准形，其中正平方项的项数p和负平方项的项数q是由A唯一确定的。或者说,对于实对称矩阵A，不论取怎样的可逆矩阵C,只要使CTAC=?=diag(d1,?,dp,?dp+1,?,?dp+q,0,?,0)其中，di0(i=1,?,p+q),p+q?n成立，则p和q是由A唯一确定的。第2页，共28页，星期日，2025年，2月5日证：因此，只需证明p由A惟一确定.由秩(A)=秩(CTAC)=p+q,知p+q由A唯一确定.设实二次型f=xTAx,经由坐标变换设p+q=r(A)=r,x=By和x=Cz①(B,C都可逆)分别化为标准形：f=b1y12+?+bpyp2?bp+1yP+12-??bryr2②f=c1z12+?+ctzt2?ct+1zt+12???crzr2③(bi,ci0,i=1,?,r)要证正平方项的项数是唯一的.即要证明：p=t.第3页，共28页，星期日，2025年，2月5日用反证法：假设pt，此时由②和③可得f=b1y12+?+btyt2+bt+1yt+12+?+bpyp2?bp+1yp+12???bryr2=c1z12+?+ctzt2?ct+1zt+12???cpzp2?cp+1zp+12???crzr2④由①z=C?1x=(C?1B)y=Dy（其中D=C?1B），即⑤第4页，共28页，星期日，2025年，2月5日为了从④式中找到矛盾，令z1=z2=?=zt=0,yp+1=?=yn=0,代入⑤式,得到y1,y2,…,yn的线性方程组⑥齐次线性方程组⑥有n个未知量，但方程个数为t+(n?p)=n?(p?t)n,故必有非零解。第5页，共28页，星期日，2025年，2月5日由于yp+1=?=yn=0,故⑥式非零解中y1,y2,?,yp不全为零将它们再代入④式得f=b1y12+?+btyt2+bt+1yt+12+?+bpyp20⑦将⑥的非零解代入⑤式得到z1,…,zt,…,zn的一组值(其中z1=z2=?=zt=0)将它们再代入④式，又得f=?ct+1zt+12???cpzp2???crzr2?0 ⑧⑦,⑧二式显然是矛盾的，故假设的pt不能成立.同理可证t?p，得p=t。故p和q=r?p是由A唯一确定的。第6页，共28页，星期日，2025年，2月5日定义6.3二次型xTAx的标准形中，正平方项项数p称为二次型(或矩阵A)的正惯性指数；负平方项项数q=r?p称为二次型(或矩阵A)的负惯性指数；正负惯性指数的差p?q=2p?r称为符号差。秩(A)=r也叫二次型的秩。推论设A为n阶实对称矩阵，正、负惯性指数分别为p和q，则A?diag(1,?,1,?1,?,?1,0,?,0).其中1有p个,?1有q个,0有n?(p+q)个。换句话说，第7页，共28页，星期日，2025年，2月5日对于二次型xTAx存在坐标变换x=Cy，使得xTAx=y12+?+yp2?yp+12-??yr2(r=p+q)上式右端称为xTAx的规范形。推论之证明:由定理6.2~6.3知,存在可逆矩阵C1,使C1TAC1=diag(d1,?,dp,?dp+1,?,?dp+q,0,?,0)其中di0(i=1,?,p+q)。取可逆阵第8页，共28页，星期日，2025年，2月5日则则CTAC=diag(1,?,1,?1,?,?1,0,?,0)若n阶实对称矩阵A与B合同，也称对应的二次型xTAx和xTBx合同。注意：一个实对称矩阵A的合同规范形是唯一的。