北师大版（2024）新教材八年级数学上册第一章思想方法专题：勾股定理中的三种主要数学思想（含答案）.docxVIP

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思想方法专题：勾股定理中的三种主要数学思想

(3类热点题型讲练)

目录

TOC\o1-3\h\u【类型一方程思想】 1

【1.几何问题中的方程思想】 1

【2.实际应用中的方程思想】 6

【类型二分类讨论思想】 11

【类型三转化思想】 15

【类型一方程思想】

适用情况：

直角三角形中两条边长未知，当两边长存在一定数量关系；

直接三角形中存在公共边（或作高，构造公共边）；

折叠问题；

实际应用问题.

【1.几何问题中的方程思想】

1．如图，中，，比长1，，则．

2.如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，则BC边上的高为_______．

3．如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于．

4．如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．若，，则．

5．如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则．

6．已知中，，，点在边上．请从，两题中任选一题作答．

A．如图1，若；

B．如图2，若；

我选择题，则的长为；

我选择题，则的长为．

【2.实际应用中的方程思想】

1．如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．

2．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．

??

3．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长．

4．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．

(1)求出的长度；

(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．

5．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：

(1)墙的高度；

(2)竹竿的长度．

6．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．

(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．

(2)求原来的路线AC的长．

【类型二分类讨论思想】

适用情况：

高在三角形内，外不明确；

直角边、斜边不明确；

动态问题或存在性问题中，直角顶点的位置不明确.

1．在中，，点是直线上一点，，，连接，则线段的长为．

2．如图，在中，，点P为射线上一点，将沿所在直线翻折，点C的对应点为点，如果点在射线上，那么．

3．已知中，，，边上的高，求边的长．

4．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．

(1)求边的长；

(2)当为直角三角形时，求的值．

【类型三转化思想】

适用情况：

最短路径问题（未知转化为已知，化曲为直）；

等线段转化（几何证明）.

1．如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．

(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．

2．综合与实践

【问题情境】

数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．

【探究实践】

老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？

（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为__________，就是最短路程．

【变式探究】

（2）如图③，是一只圆柱形