北师大版（2024）新教材八年级数学上册第一章解题技巧专题：利用勾股定理求最短路径问题（含答案）.docxVIP

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解题技巧专题：利用勾股定理求最短路径问题

(4类热点题型讲练)

目录

TOC\o1-3\h\u【模型一圆柱中的最短路径模型】 1

【模型二长方体中的最短路径模型】 3

【模型三阶梯中的最短路径模型】 5

【模型四将军饮马与最短路径模型】 7

【模型一圆柱中的最短路径模型】

【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：

计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算.

注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；

（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.

【最值原理】两点之间线段最短.

例题：如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米：

(1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）；

(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度．

【变式训练】

1．如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行，吃到上底面与A点相对的B点处的食物，当圆柱的高厘米，底面半径厘米时，蚂蚁沿侧面爬行的最短路程是．

2．如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为．

3．如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在处，沿圆柱的侧面爬到处，现将圆柱侧面沿“剪开”，则在侧面展开图上蚂蚁爬行的最短路程是．

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4．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面圆的直径为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号）

5．葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？

(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？

(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？

6．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上．

(1)若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．

(2)若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．

【模型二长方体中的最短路径模型】

【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：

计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.

注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；

2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.

【最值原理】两点之间线段最短.

例题：如图是长、宽、高的长方体容器．

(1)求底面矩形的对角线的长；

(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？

(3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？

【变式训练】

1．深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为．

2．如图，有一长、宽各2m、高3m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为m．

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3．如图，一只蚂蚁从长、宽、高是的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是．

4．如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点开始经过四个侧面绕到上底面的顶点，如果缠绕的圈数是，那么用在该建筑物上的灯线最短需要米．

5．如图所示，一个实心长方体盒子，长，