选修4-5_高考不等式证明的基本方法(good).pdfVIP

选修4-5等式证明的基本方法

不等式的证明方法：①作差法②作商法③综合法：由因到果④分析法：执果索因

⑤放缩法：常见类型有⑴1111111（放缩程度较大）;⑵

nn1n(n1)n2n(n1)n1n

111(11)（放缩程度较小）;⑶1222(nn1）

n2n212n1n1n2nnn1

⑥数学归纳法：常用于数列类的不等式⑦利用函数单调性法

111

22223

1．已知a，b，c均为正数，证明：a＋b＋c＋(＋＋)≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

abc

证明：法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得

2

2222111-111123

a＋b＋c≥3(abc)3，①＋＋≥3(abc)3，②所以(＋＋)≥9(abc).

abcabc

1112222

22223333273

故a＋b＋c＋(＋＋)≥3(abc)＋9(abc).又3(abc)＋9(abc)≥2＝6，③

abc

所以原不等式成立．

22



当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)3＝9(abc)3时，③式等号成立．

1

即当且仅当a＝b＝c＝34时，原式等号成立．