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二项式定理十大典型问题及例题

二项式定理相关问题在数学学习中占据重要地位，下面为你呈现二项式定理的十大典型问题及对应例题。

一、求二项展开式的特定项

（一）求常数项

例题：求(x^2+\frac{1}{x})^{6}展开式中的常数项。

分析：对于(a+b)^n的展开式通项公式为T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}。在此题中a=x^2，b=\frac{1}{x}，n=6，通项公式为T_{r+1}=C_{6}^{r}(x^2)^{6-r}(\frac{1}{x})^{r}=C_{6}^{r}x^{12-2r}x^{-r}=C_{6}^{r}x^{12-3r}。

要得到常数项，即x的指数为0，令12-3r=0，解得r=4。

将r=4代入通项公式的系数C_{6}^{r}中，可得常数项为C_{6}^{4}=\frac{6!}{4!(6-4)!}=\frac{6\times5}{2\times1}=15。

（二）求有理项

例题：求(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{10}展开式中的有理项。

分析：此二项式展开式的通项公式为T_{r+1}=C_{10}^{r}(\sqrt{x})^{10-r}(-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{r}=(-1)^{r}C_{10}^{r}x^{\frac{10-r}{2}}x^{-\frac{r}{3}}=(-1)^{r}C_{10}^{r}x^{\frac{30-5r}{6}}。

因为要求有理项，所以x的指数\frac{30-5r}{6}必须是整数。又因为0\leqr\leq10，r\inN，当r=0时，\frac{30-5r}{6}=5；当r=6时，\frac{30-5r}{6}=0。

当r=0时，该项为(-1)^{0}C_{10}^{0}x^{5}=x^{5}；当r=6时，该项为(-1)^{6}C_{10}^{6}x^{0}=C_{10}^{6}=\frac{10!}{6!(10-6)!}=210。所以展开式中的有理项为x^{5}和210。

二、求二项式系数或项的系数

（一）求二项式系数

例题：已知(2x-1)^{5}，求展开式中各项二项式系数之和。

分析：对于(a+b)^n，其展开式的二项式系数之和为2^{n}。在此题中n=5，所以(2x-1)^{5}展开式中各项二项式系数之和为2^{5}=32。

（二）求项的系数

例题：求(3x-\frac{1}{\sqrt{x}})^{6}展开式中x^{3}的系数。

分析：展开式的通项公式为T_{r+1}=C_{6}^{r}(3x)^{6-r}(-\frac{1}{\sqrt{x}})^{r}=(-1)^{r}3^{6-r}C_{6}^{r}x^{6-r}x^{-\frac{r}{2}}=(-1)^{r}3^{6-r}C_{6}^{r}x^{6-\frac{3r}{2}}。

令6-\frac{3r}{2}=3，解得r=2。

将r=2代入(-1)^{r}3^{6-r}C_{6}^{r}中，可得x^{3}的系数为(-1)^{2}3^{6-2}C_{6}^{2}=1\times81\times\frac{6!}{2!(6-2)!}=81\times15=1215。

三、二项式定理的逆用

例题：计算C_{n}^{0}2^{n}+C_{n}^{1}2^{n-1}+C_{n}^{2}2^{n-2}+\cdots+C_{n}^{n-1}2+C_{n}^{n}。

分析：根据二项式定理(a+b)^n=C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}。

观察原式，可发现它与(1+2)^n的展开式形式一致，这里a=1，b=2。

所以C_{n}^{0}2^{n}+C_{n}^{1}2^{n-1}+C_{n}^{2}2^{n-2}+\cdots+C_{n}^{n-1}2+C_{n}^{n}=(1+2)^n=3^{n}。

四、利用二项式定理证明整除问题

例题：求证3^{2n+2}-8n-9(n\inN^{*})能被64整除。

分析：将3^{2n+2}变形为