2025年上海交通大学运筹学与概率统计考研真题及答案(完整版).docxVIP

2025年上海交通大学运筹学与概率统计考研真题及答案(完整版)

一、线性规划与对偶理论

某企业生产甲、乙两种产品，需消耗A、B、C三种资源。已知生产1单位甲产品需消耗A资源3单位、B资源2单位、C资源1单位；生产1单位乙产品需消耗A资源1单位、B资源3单位、C资源4单位。A、B、C三种资源的可用量分别为12单位、15单位、16单位。甲、乙产品的单位利润分别为5元和7元。

（1）建立线性规划模型，求利润最大化的生产方案；

（2）写出该问题的对偶问题，并利用互补松弛定理分析原问题最优解中各资源的影子价格；

（3）若甲产品的单位利润提升至6元，分析最优解是否变化；若乙产品的B资源消耗量减少至2单位，分析最优解是否变化。

解答：

（1）设生产甲产品\(x_1\)单位，乙产品\(x_2\)单位，目标函数为最大化利润\(Z=5x_1+7x_2\)，约束条件：

\[

\begin{cases}

3x_1+x_2\leq12\quad(A资源)\\

2x_1+3x_2\leq15\quad(B资源)\\

x_1+4x_2\leq16\quad(C资源)\\

x_1,x_2\geq0

\end{cases}

\]

引入松弛变量\(s_1,s_2,s_3\)，转化为标准型：

\[

\maxZ=5x_1+7x_2+0s_1+0s_2+0s_3

\]

约束：

\[

\begin{cases}

3x_1+x_2+s_1=12\\

2x_1+3x_2+s_2=15\\

x_1+4x_2+s_3=16\\

x_1,x_2,s_1,s_2,s_3\geq0

\end{cases}

\]

初始单纯形表如下：

|基变量|\(x_1\)|\(x_2\)|\(s_1\)|\(s_2\)|\(s_3\)|右端项|

|--------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|--------|

|\(s_1\)|3|1|1|0|0|12|

|\(s_2\)|2|3|0|1|0|15|

|\(s_3\)|1|4|0|0|1|16|

|\(Z\)|-5|-7|0|0|0|0|

检验数中\(x_2\)的检验数最负（-7），选\(x_2\)进基。计算比值：\(12/1=12\)，\(15/3=5\)，\(16/4=4\)，最小比值为4，故\(s_3\)出基，主元素为4。进行行变换，得到新单纯形表：

|基变量|\(x_1\)|\(x_2\)|\(s_1\)|\(s_2\)|\(s_3\)|右端项|

|--------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|--------|

|\(s_1\)|\(3-1\times(1/4)\times1=11/4\)|0|1|0|\(-1/4\)|\(12-16\times(1/4)=8\)|

|\(s_2\)|\(2-4\times(1/4)\times1=1\)|0|0|1|\(-3/4\)|\(15-16\times(3/4)=3\)|

|\(x_2\)|\(1/4\)|1|0|0|\(1/4\)|4|

|\(Z\)|\(-5+7\times(1/4)=-13/4\)|0|0|0|\(7/4\)|28|

此时\(x_1\)的检